新讲 第13章 重积分 第2题
📝 题目
例 2 设 $f\left( {x,y}\right)$ 是二阶连续可微函数. 试计算
$$ I = {\iint }_{\left\lbrack {a,\beta }\right\rbrack \times \left\lbrack {\gamma ,\delta }\right\rbrack }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) . $$
💡 答案解析
解 化为累次积分计算, 我们得到
$$ I = {\int }_{a}^{\beta }\mathrm{d}x{\int }_{\gamma }^{\delta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y $$
$$ = {\int }_{\alpha }^{\beta }\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {x,\delta }\right) - \frac{\partial f}{\partial x}\left( {x,\gamma }\right) }\right) \mathrm{d}x $$
$$ = f\left( {\beta ,\delta }\right) - f\left( {\alpha ,\delta }\right) - f\left( {\beta ,\gamma }\right) + f\left( {\alpha ,\gamma }\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化为累次积分
将二重积分化为先对y后对x的累次积分：I = ∫_α^β dx ∫_γ^δ ∂²f/∂x∂y (x,y) dy
公式：I = ∫_α^β dx ∫_γ^δ ∂²f/∂x∂y dy
提示：注意积分区域是矩形，可以直接化为累次积分。
步骤 2/3
目标：计算内层积分
对内层积分 ∫_γ^δ ∂²f/∂x∂y dy，由于∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (∂f/∂x)，所以积分结果为 ∂f/∂x (x,δ) - ∂f/∂x (x,γ)。
公式：∫_γ^δ ∂²f/∂x∂y dy = ∂f/∂x (x,δ) - ∂f/∂x (x,γ)
提示：利用牛顿-莱布尼茨公式，将偏导数视为关于y的函数。
步骤 3/3
目标：计算外层积分
将内层积分结果代入外层积分：I = ∫_α^β [∂f/∂x (x,δ) - ∂f/∂x (x,γ)] dx。然后分别积分，得到 f(β,δ) - f(α,δ) - f(β,γ) + f(α,γ)。
公式：∫_α^β ∂f/∂x (x,δ) dx = f(β,δ) - f(α,δ)；∫_α^β ∂f/∂x (x,γ) dx = f(β,γ) - f(α,γ)
提示：再次使用牛顿-莱布尼茨公式，将∂f/∂x视为关于x的函数。
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