新讲 第13章 重积分 第3题
📝 题目
例 3 设 $\Delta$ 是 ${OXY}$ 平面上由直线
$$ y = a,\;y = x\text{ 和 }x = b, $$
所围成的闭区域 $\left( {a < b}\right)$ . 又设 $f\left( {x,y}\right)$ 是在 $\Delta$ 上有定义并且连续的一个函数. 试证
$$ {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{x}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{y}^{b}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x. $$
💡 答案解析
证明 用两种办法把重积分
$$ {\iint }_{\Delta }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) $$
化为累次积分 (参看定理 2 ), 就得到要证的结果.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解区域Δ的几何形状
区域Δ由直线y=a, y=x和x=b围成，其中a
提示：注意积分限的确定：先x后y与先y后x的积分限不同。
步骤 2/4
目标：将二重积分化为先x后y的累次积分
将区域Δ看作y型区域：y从a到b，对于每个y，x从y到b。因此二重积分∬_Δ f(x,y) d(x,y) = ∫_a^b dy ∫_y^b f(x,y) dx。
公式：∬_Δ f(x,y) d(x,y) = ∫_a^b dy ∫_y^b f(x,y) dx
提示：注意积分次序：先对x积分，再对y积分。
步骤 3/4
目标：将二重积分化为先y后x的累次积分
将区域Δ看作x型区域：x从a到b，对于每个x，y从a到x。因此二重积分∬_Δ f(x,y) d(x,y) = ∫_a^b dx ∫_a^x f(x,y) dy。
公式：∬_Δ f(x,y) d(x,y) = ∫_a^b dx ∫_a^x f(x,y) dy
提示：注意积分次序：先对y积分，再对x积分。
步骤 4/4
目标：由二重积分相等得到等式
由于两种累次积分表示同一个二重积分，因此它们相等：∫_a^b dx ∫_a^x f(x,y) dy = ∫_a^b dy ∫_y^b f(x,y) dx。
公式：∫_a^b dx ∫_a^x f(x,y) dy = ∫_a^b dy ∫_y^b f(x,y) dx
提示：这是交换积分次序的典型例子。
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