新讲 第13章 重积分 第1题

教材习题

📝 题目

解 如果采取先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分的方案,那么就会遇到不好计算的内层积分:

$$ I = {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{2}{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x, $$

这里的 $\displaystyle{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}$ 不好计算. 如果先对 $x$ 积分,再对 $y$ 积分,就能够顺利地计算到底:

$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{y}{x}^{2}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}{y}^{3}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{6} - \frac{1}{3\mathrm{e}}. $$

💡 答案解析

解 如果采取先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分的方案,那么就会遇到不好计算的内层积分:

$$ I = {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{2}{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x, $$

这里的 $\displaystyle{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}$ 不好计算. 如果先对 $x$ 积分,再对 $y$ 积分,就能够顺利地计算到底:

$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{y}{x}^{2}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}{y}^{3}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{6} - \frac{1}{3\mathrm{e}}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：分析原积分顺序的困难
原积分顺序为先对 y 后对 x，内层积分 ∫_x^1 e^{-y^2} dy 无法用初等函数表示，导致计算困难。
公式：I = ∫_0^1 [ x^2 ∫_x^1 e^{-y^2} dy ] dx
提示：当内层积分无法直接计算时，考虑交换积分顺序。
步骤 2/6
目标：交换积分顺序
积分区域由 x 从 0 到 1，y 从 x 到 1 描述，即 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1。交换顺序后，y 从 0 到 1，x 从 0 到 y。
公式：I = ∫_0^1 dy ∫_0^y x^2 e^{-y^2} dx
提示：画出积分区域有助于确定新积分限。
步骤 3/6
目标：计算内层积分
对 x 积分：∫_0^y x^2 dx = [x^3/3]_0^y = y^3/3。
公式：∫_0^y x^2 dx = y^3/3
提示：注意被积函数中 e^{-y^2} 与 x 无关，可提出积分号外。
步骤 4/6
目标：计算外层积分
I = (1/3) ∫_0^1 y^3 e^{-y^2} dy。令 u = y^2，则 du = 2y dy，y^3 dy = (1/2) u du，积分限 u 从 0 到 1。
公式：I = (1/3) * (1/2) ∫_0^1 u e^{-u} du = (1/6) ∫_0^1 u e^{-u} du
提示：使用换元法简化积分。
步骤 5/6
目标：计算定积分 ∫_0^1 u e^{-u} du
使用分部积分：∫ u e^{-u} du = -u e^{-u} - e^{-u} + C。从 0 到 1 得：(-1*e^{-1} - e^{-1}) - (0 - 1) = -2/e + 1。
公式：∫_0^1 u e^{-u} du = 1 - 2/e
提示：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
I = (1/6)(1 - 2/e) = 1/6 - 1/(3e)。
公式：I = 1/6 - 1/(3e)
提示：化简分数。

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