新讲 第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 设 $S$ 是球面

$$ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}, $$

试计算 $S$ 的面积 $\sigma \left( S\right)$ .

💡 答案解析

解 我们引入球面的参数方程

$$ \mathbf{r} = \mathbf{r}\left( {\theta ,\varphi }\right) ,\;\left( {\theta ,\varphi }\right) \in D, $$

这里

$$ \mathbf{r}\left( {\theta ,\varphi }\right) = \left( {a\cos \theta \cos \varphi ,a\sin \theta \cos \varphi ,a\sin \varphi }\right) , $$

$$ D = \left\{ {\left( {\theta ,\varphi }\right) \mid 0 \leq \theta \leq {2\pi }, - \frac{\pi }{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi }{2}}\right\} . $$

计算得

$$ {\mathbf{r}}_{\theta } = \left( {-a\sin \theta \cos \varphi ,a\cos \theta \cos \varphi ,0}\right) , $$

$$ {\mathbf{r}}_{\varphi } = \left( {-a\cos \theta \sin \varphi , - a\sin \theta \sin \varphi ,a\cos \varphi }\right) , $$

$$ E = {\begin{Vmatrix}{\mathbf{r}}_{\theta }\end{Vmatrix}}^{2} = {a}^{2}{\cos }^{2}\varphi , $$

$$ F = \left( {{\mathbf{r}}_{\theta },{\mathbf{r}}_{\varphi }}\right) = 0, $$

$$ G = {\begin{Vmatrix}{\mathbf{r}}_{\varphi }\end{Vmatrix}}^{2} = {a}^{2}, $$

$$ W = \sqrt{{EG} - {F}^{2}} = {a}^{2}\cos \varphi . $$

所求的面积为

$$ \sigma \left( S\right) = {\iint }_{D}\sqrt{{EG} - {F}^{2}}\mathrm{\;d}\theta \mathrm{d}\varphi $$

$$ = {a}^{2}{\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \varphi \mathrm{d}\varphi = {4\pi }{a}^{2}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：建立球面的参数方程
引入参数θ和φ，将球面表示为r(θ,φ) = (a cosθ cosφ, a sinθ cosφ, a sinφ)，其中θ∈[0,2π]，φ∈[-π/2,π/2]。
公式：r(θ,φ) = (a cosθ cosφ, a sinθ cosφ, a sinφ)
提示：参数φ是纬度，从赤道到两极；θ是经度。
步骤 2/5
目标：计算偏导数r_θ和r_φ
对r分别对θ和φ求偏导：r_θ = (-a sinθ cosφ, a cosθ cosφ, 0)，r_φ = (-a cosθ sinφ, -a sinθ sinφ, a cosφ)。
公式：r_θ = (-a sinθ cosφ, a cosθ cosφ, 0), r_φ = (-a cosθ sinφ, -a sinθ sinφ, a cosφ)
提示：注意求导时a是常数。
步骤 3/5
目标：计算第一基本量E, F, G
E = ||r_θ||^2 = a^2 cos^2φ，F = r_θ·r_φ = 0，G = ||r_φ||^2 = a^2。
公式：E = a^2 cos^2φ, F = 0, G = a^2
提示：F=0说明参数曲线正交。
步骤 4/5
目标：计算面积元√(EG-F^2)
√(EG-F^2) = √(a^2 cos^2φ * a^2 - 0) = a^2 |cosφ|，由于φ∈[-π/2,π/2]时cosφ≥0，故为a^2 cosφ。
公式：√(EG-F^2) = a^2 cosφ
提示：注意绝对值处理。
步骤 5/5
目标：积分求面积
σ(S) = ∫∫_D a^2 cosφ dθ dφ = a^2 ∫_0^{2π} dθ ∫_{-π/2}^{π/2} cosφ dφ = a^2 * 2π * 2 = 4πa^2。
公式：σ(S) = 4πa^2
提示：先对θ积分得2π，再对φ积分得2。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
已是第一题 返回列表 第2题 →