新讲 第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第6题
📝 题目
例 6 试计算积分
$$ L = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma , $$
其中 $S$ 是球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ .
💡 答案解析
解 引入球面的参数表示当然可以进行计算(请读者自己练习),但利用对称性可以几乎不进行计算直接得出结果. 事实上, 我们有
$$ {\iint }_{S}{x}^{2}\mathrm{\;d}\sigma = {\iint }_{S}{y}^{2}\mathrm{\;d}\sigma = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma , $$
所以
$$ L = \frac{1}{3}{\iint }_{S}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma $$
$$ = \frac{1}{3}{\iint }_{S}{a}^{2}\mathrm{\;d}\sigma = \frac{4}{3}\pi {a}^{4}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用对称性简化积分
由于球面S关于坐标平面对称，且被积函数z²与x²、y²在轮换对称性下地位相同，因此有∬_S x² dσ = ∬_S y² dσ = ∬_S z² dσ。
公式：∬_S x² dσ = ∬_S y² dσ = ∬_S z² dσ
提示：对称性是关键，注意球面的轮换对称性。
步骤 2/5
目标：将所求积分表示为三个积分之和的三分之一
由对称性，L = ∬_S z² dσ = (1/3)∬_S (x² + y² + z²) dσ。
公式：L = (1/3)∬_S (x² + y² + z²) dσ
提示：利用对称性将三个积分合并。
步骤 3/5
目标：代入球面方程简化被积函数
在球面S上，x² + y² + z² = a²，因此被积函数化为常数a²。
公式：x² + y² + z² = a²
提示：注意积分曲面是球面，满足球面方程。
步骤 4/5
目标：计算球面面积
球面S的面积为4πa²。
公式：∬_S dσ = 4πa²
提示：球面面积公式。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
L = (1/3) * a² * (4πa²) = (4/3)πa⁴。
公式：L = (4/3)πa⁴
提示：最终结果。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。