新讲 第2章 极 限 第8题

教材习题

📝 题目

证明 我们有

$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| = \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \cdots + \frac{1}{{\left( n + p\right) }^{2}} $$

$$ < \frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } + \cdots + \frac{1}{\left( {n + p - 1}\right) \left( {n + p}\right) } $$

$$ = \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}}\right) + \cdots + \left( {\frac{1}{n + p - 1} - \frac{1}{n + p}}\right) $$

$$ = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + p} < \frac{1}{n}. $$

对任意 $\varepsilon > 0$ ,可取 $N = \left\lbrack {1/\varepsilon }\right\rbrack + 1$ ,则对任意的 $n > N$ 和 $p \in \mathbb{N}$ 都有

$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| < 1/n < \varepsilon . $$

💡 答案解析

证明 我们有

$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| = \frac{1}{{\left( n + 1\right) }^{2}} + \cdots + \frac{1}{{\left( n + p\right) }^{2}} $$

$$ < \frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } + \cdots + \frac{1}{\left( {n + p - 1}\right) \left( {n + p}\right) } $$

$$ = \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}}\right) + \cdots + \left( {\frac{1}{n + p - 1} - \frac{1}{n + p}}\right) $$

$$ = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + p} < \frac{1}{n}. $$

对任意 $\varepsilon > 0$ ,可取 $N = \left\lbrack {1/\varepsilon }\right\rbrack + 1$ ,则对任意的 $n > N$ 和 $p \in \mathbb{N}$ 都有

$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| < 1/n < \varepsilon . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出差分的表达式
根据定义，|x_{n+p} - x_n| = 1/(n+1)^2 + ... + 1/(n+p)^2。
公式：|x_{n+p} - x_n| = \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{(n+k)^2}
提示：注意下标从n+1开始到n+p。
步骤 2/5
目标：放缩每一项
由于1/(n+k)^2 < 1/[(n+k-1)(n+k)]，因为(n+k)^2 > (n+k-1)(n+k)。所以和式小于1/[n(n+1)] + ... + 1/[(n+p-1)(n+p)]。
公式：\frac{1}{(n+k)^2} < \frac{1}{(n+k-1)(n+k)}
提示：利用平方大于乘积进行放缩。
步骤 3/5
目标：裂项相消
将每一项裂项：1/[(n+k-1)(n+k)] = 1/(n+k-1) - 1/(n+k)。然后求和得到(1/n - 1/(n+1)) + ... + (1/(n+p-1) - 1/(n+p)) = 1/n - 1/(n+p)。
公式：\frac{1}{(n+k-1)(n+k)} = \frac{1}{n+k-1} - \frac{1}{n+k}
提示：裂项后中间项抵消。
步骤 4/5
目标：进一步放缩
由于1/n - 1/(n+p) < 1/n，所以|x_{n+p} - x_n| < 1/n。
公式：\frac{1}{n} - \frac{1}{n+p} < \frac{1}{n}
提示：减去正数后更小。
步骤 5/5
目标：取N并验证柯西条件
对任意ε>0，取N = [1/ε] + 1，则当n > N时，1/n < ε。于是对任意p∈N，有|x_{n+p} - x_n| < 1/n < ε。
公式：N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1
提示：取整加1保证n > N时1/n < ε。

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