新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 试计算

$$ {W}_{C} = {\oint }_{C}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$

$$ {W}_{E} = {\oint }_{E}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$

$$ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$

这里 $C$ 是圆周 ${x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2},E$ 是椭圆周 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1,\Gamma$ 是环绕原点的任意连续可微的简单闭曲线——这些曲线都根据它们所围的有界区域来诱导定向.

💡 答案解析

解 利用圆的参数方程进行计算, 很容易求得

$$ {W}_{C} = {\int }_{0}^{2\pi }\frac{{r}^{2}{\cos }^{2}t + {r}^{2}{\sin }^{2}t}{{r}^{2}{\cos }^{2}t + {r}^{2}{\sin }^{2}t}\mathrm{\;d}t = {2\pi }. $$

第二个积分的直接计算比较麻烦,我们将采用间接方法计算. 选取半径充分小的圆周 $C$ ,使得这圆周完全包含在 $E$ 的内部. 把 $C$ 与 $E$ 之间的闭环状区域记为 $\Omega$ . 在这环状区域中,函数

$$ P = - \frac{y}{{x}^{2} + {y}^{2}}\text{ 和 }Q = \frac{x}{{x}^{2} + {y}^{2}} $$

都是连续可微的, 并且

$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{{y}^{2} - {x}^{2}}{{\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{2}} = \frac{\partial P}{\partial y}. $$

因而

$$ {\int }_{\partial \Omega }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y = {\iint }_{\Omega }\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = 0. $$

由此得到

$$ {W}_{E} = {W}_{C} = {2\pi }. $$

用同样的办法可以求得

$$ {W}_{\Gamma } = {2\pi }. $$

这结果似乎有些使人感到惊奇. 其实, 我们可以把被积表达式写成

$$ \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \operatorname{darctan}\frac{y}{x} = \mathrm{d}\theta , $$

这里 $\theta$ 是点(x, y)的辐角. 不管沿怎样的连续可微简单闭曲线 $\Gamma$ 绕原点一周,积分 ${W}_{\Gamma }$ 的值都应等于辐角的增量 ${2\pi }$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算沿圆周C的积分W_C
利用圆的参数方程：x = r cos t, y = r sin t, t从0到2π。则dx = -r sin t dt, dy = r cos t dt。代入积分式得：W_C = ∫_0^{2π} [x dy - y dx] / (x^2+y^2) = ∫_0^{2π} [r cos t * r cos t dt - r sin t * (-r sin t dt)] / r^2 = ∫_0^{2π} (r^2 cos^2 t + r^2 sin^2 t) / r^2 dt = ∫_0^{2π} dt = 2π。
公式：x = r cos t, y = r sin t; x dy - y dx = r^2 dt
提示：注意参数化时t的取向应与曲线定向一致，这里取逆时针方向。
步骤 2/3
目标：计算沿椭圆周E的积分W_E
由于直接计算复杂，采用间接方法。选取半径充分小的圆周C（逆时针），使其完全包含在椭圆E内部。记C与E之间的环状区域为Ω。在Ω内，P = -y/(x^2+y^2), Q = x/(x^2+y^2)连续可微，且∂Q/∂x = (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 = ∂P/∂y。由格林公式，∫_{∂Ω} P dx + Q dy = ∬_Ω (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = 0。注意∂Ω由E和C组成，但方向相反：E取逆时针，C取顺时针（因为Ω的边界正向是外法向，但通常取E逆时针，C顺时针）。实际上，若E和C都取逆时针，则Ω的边界正向为E逆时针，C顺时针。因此∫_E - ∫_C = 0，即∫_E = ∫_C = 2π。
公式：格林公式：∮_{∂Ω} P dx + Q dy = ∬_Ω (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
提示：注意区域Ω的边界方向：外边界逆时针，内边界顺时针。
步骤 3/3
目标：计算沿任意环绕原点的简单闭曲线Γ的积分W_Γ
与椭圆情形类似，取充分小的圆周C完全包含在Γ内部，应用格林公式于Γ和C之间的区域，可得W_Γ = W_C = 2π。或者直接利用被积表达式等于dθ，其中θ是点(x,y)的辐角。沿Γ绕原点一周，辐角增量为2π，故积分值为2π。
公式：x dy - y dx)/(x^2+y^2) = dθ
提示：注意曲线必须环绕原点，否则积分可能为0。

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