新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第6题
📝 题目
例 6 试计算积分
$$ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$
这里 $\Gamma$ 是不围绕原点的连续可微简单闭曲线,并且依据它所围的有界区域诱导定向.
💡 答案解析
解 把 $\Gamma$ 所围绕的有界闭区域记为 $\Omega$ . 因为 $\Omega$ 不含原点,所以函数
$$ P = - \frac{y}{{x}^{2} + {y}^{2}},\;Q = \frac{x}{{x}^{2} + {y}^{2}} $$
都在 $\Omega$ 连续可微,并且有
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{{y}^{2} - {x}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \frac{\partial P}{\partial y}, $$
因而
$$ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\partial \Omega }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y = 0. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分路径和区域
设Γ是不围绕原点的连续可微简单闭曲线，其所围有界区域记为Ω。由于Ω不含原点，函数P和Q在Ω上连续可微。
提示：注意条件：Γ不围绕原点，确保Ω内无奇点。
步骤 2/5
目标：写出P和Q的表达式
将积分化为标准形式：∮_Γ (x dy - y dx)/(x^2+y^2) = ∮_Γ P dx + Q dy，其中P = -y/(x^2+y^2)，Q = x/(x^2+y^2)。
公式：P = -\frac{y}{x^2+y^2}, Q = \frac{x}{x^2+y^2}
提示：注意符号：原积分中x dy - y dx，对应P dx + Q dy时，P是dy的系数？实际上标准形式是P dx + Q dy，这里x dy对应Q，-y dx对应P。
步骤 3/5
目标：验证格林公式条件
计算偏导数：∂Q/∂x = (y^2 - x^2)/(x^2+y^2)^2，∂P/∂y = (y^2 - x^2)/(x^2+y^2)^2，两者相等。因此∂Q/∂x = ∂P/∂y在Ω上成立。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{\partial P}{\partial y}
提示：注意分母是平方，计算时小心。
步骤 4/5
目标：应用格林公式
由格林公式，∮_Γ P dx + Q dy = ∬_Ω (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∬_Ω 0 dxdy = 0。
公式：\oint_\Gamma P\,dx + Q\,dy = \iint_\Omega \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy = 0
提示：格林公式要求区域边界正向，这里Γ诱导定向即正向。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此积分值为0。
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