新讲 第2章 极 限 第12题

教材习题

📝 题目

例 12 中,曾经讨论过如下形状的序列变换 (算术平均变换):

$$ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots . $$

在那里,我们证明了: 如果 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,那么 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 也是无穷小序列. 下面, 我们讨论更一般的一种序列变换.

定义 设给定了一个由非负实数排成的无穷三角形数表 (无穷三角阵)

\begin{center} \end{center} \hspace*{3em}

如果这数表满足条件

(1) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk} = 1,\;\forall n \in \mathbb{N}}$ ,

(2)对任意给定的 $k$ 都有

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{t}_{nk} = 0 $$

那么我们就把这样的数表 $\left\{ {t}_{nk}\right\}$ 叫作特普利茨 (Toeplitz) 数表或者特普利茨矩阵, 并把序列变换

$$ {\beta }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k},\;n = 1,2,\cdots $$

叫作特普利茨变换.

前面提到的算术平均变换是特普利茨变换的一种特殊情形, 它所对应的特普利茨数表是

$$ {t}_{nk} = 1/n, $$

$$ n = 1,2,\cdots ,\;k = 1,2,\cdots ,n. $$

引理 1 设 $\left\{ {t}_{nk}\right\}$ 是任意一个特普利茨数表, $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是任意一个无穷小序列, 并设

$$ {\beta }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k},\;n = 1,2,\cdots , $$

则有

$$ \lim {\beta }_{n} = 0\text{ . } $$

💡 答案解析

证明 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $m \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $k > m$ ,就有

$$ \left| {\alpha }_{k}\right| < \varepsilon /2\text{ . } $$

对这取定的 $m$ ,又可取 $p \in \mathbb{N}$ 充分大,使得 $n > p$ 时,有

$$ {t}_{n1}\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + {t}_{nm}\left| {\alpha }_{m}\right| < \varepsilon /2. $$

我们记

$$ N = \max \{ m,p\} . $$

于是,对于 $n > N$ ,就有

$$ \left| {\beta }_{n}\right| \leq {t}_{n1}\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + {t}_{nm}\left| {\alpha }_{m}\right| $$

$$ + {t}_{n\left( {m + 1}\right) }\left| {\alpha }_{m + 1}\right| + \cdots + {t}_{nn}\left| {\alpha }_{n}\right| $$

$$ < \frac{\varepsilon }{2} + \left( {{t}_{n\left( {m + 1}\right) } + \cdots + {t}_{nn}}\right) \frac{\varepsilon }{2} $$

$$ \leq \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon . $$

引理 2 设 $\left\{ {t}_{nk}\right\}$ 是一个特普利茨数表, $\left\{ {u}_{n}\right\}$ 是收敛于 $a$ 的一个实数序列,

$$ {v}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{u}_{k},\;n = 1,2,\cdots , $$

则有

$$ \lim {v}_{n} = a. $$

证明 我们有

$$ {u}_{n} = a + {\alpha }_{n}, $$

这里 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列. 于是

$$ {v}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}\left( {a + {\alpha }_{k}}\right) $$

$$ = a\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k} $$

$$ = a + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k}. $$

由引理 1 可知

$$ \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k}}\right\} $$

是无穷小序列. 因而有

$$ \lim {v}_{n} = a. $$

斯托尔茨定理 设 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {y}_{n}\right\}$ 是实数序列, $0 < {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots <$

${x}_{n} < {x}_{n + 1} < \cdots$ ,并且

$$ \lim {x}_{n} = + \infty \text{ . } $$

如果存在有穷极限

$$ \lim \frac{{y}_{n} - {y}_{n - 1}}{{x}_{n} - {x}_{n - 1}} = a, $$

那么也就一定有

$$ \lim \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}} = a. $$

证明 为书写方便, 我们记

$$ {x}_{0} = {y}_{0} = 0\text{ . } $$

考察特普利茨数表

$$ {t}_{nk} = \frac{{x}_{k} - {x}_{k - 1}}{{x}_{n}}, $$

$$ n = 1,2,\cdots ,\;k = 1,2,\cdots ,n. $$

用这数表对序列

$$ {u}_{n} = \frac{{y}_{n} - {y}_{n - 1}}{{x}_{n} - {x}_{n - 1}},\;n = 1,2,\cdots $$

作变换就得到

$$ {v}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{u}_{k} $$

$$ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{x}_{k} - {x}_{k - 1}}{{x}_{n}} \cdot \frac{{y}_{k} - {y}_{k - 1}}{{x}_{k} - {x}_{k - 1}} $$

$$ = \frac{1}{{x}_{n}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {{y}_{k} - {y}_{k - 1}}\right) = \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}}, $$

$$ n = 1,2,\cdots \text{ . } $$

我们有

$$ \lim {u}_{n} = a. $$

利用引理 2 就得到

$$ \lim {v}_{n} = a, $$

即

$$ \lim \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}} = a $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明引理1：若{α_n}是无穷小序列，则β_n = Σ t_{nk} α_k也是无穷小序列。
对任意ε>0，由于{α_n}是无穷小序列，存在m∈N，使得当k>m时，|α_k|<ε/2。固定m，由于对每个k，lim_{n→∞} t_{nk}=0，存在p∈N，使得当n>p时，t_{n1}|α_1|+...+t_{nm}|α_m|<ε/2。取N=max{m,p}，则当n>N时，|β_n| ≤ (t_{n1}|α_1|+...+t_{nm}|α_m|) + (t_{n(m+1)}|α_{m+1}|+...+t_{nn}|α_n|) < ε/2 + (t_{n(m+1)}+...+t_{nn})·ε/2 ≤ ε/2 + ε/2 = ε。因此lim β_n=0。
公式：|β_n| ≤ Σ_{k=1}^m t_{nk}|α_k| + Σ_{k=m+1}^n t_{nk}|α_k| < ε/2 + (Σ_{k=m+1}^n t_{nk})·ε/2 ≤ ε
提示：利用无穷小序列的定义和特普利茨数表的性质，将求和分成两部分分别估计。
步骤 2/3
目标：证明引理2：若{u_n}收敛于a，则v_n = Σ t_{nk} u_k也收敛于a。
设α_n = u_n - a，则{α_n}是无穷小序列。于是v_n = Σ t_{nk}(a+α_k) = a Σ t_{nk} + Σ t_{nk} α_k = a + Σ t_{nk} α_k。由引理1，Σ t_{nk} α_k是无穷小序列，故lim v_n = a。
公式：v_n = a + Σ_{k=1}^n t_{nk} α_k
提示：将u_n分解为常数部分和无穷小部分，利用引理1。
步骤 3/3
目标：证明斯托尔茨定理：若x_n严格递增趋于+∞，且lim (y_n - y_{n-1})/(x_n - x_{n-1}) = a，则lim y_n/x_n = a。
令x_0=y_0=0。定义特普利茨数表t_{nk} = (x_k - x_{k-1})/x_n，k=1,...,n。验证条件：Σ_{k=1}^n t_{nk}=1，且对固定k，lim_{n→∞} t_{nk}=0。令u_n = (y_n - y_{n-1})/(x_n - x_{n-1})，则lim u_n = a。对{u_n}作特普利茨变换得v_n = Σ_{k=1}^n t_{nk} u_k = (1/x_n) Σ_{k=1}^n (y_k - y_{k-1}) = y_n/x_n。由引理2，lim v_n = a，即lim y_n/x_n = a。
公式：t_{nk} = (x_k - x_{k-1})/x_n, v_n = y_n/x_n
提示：构造合适的特普利茨数表，将待证极限转化为引理2的形式。

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