新讲 第17章 场论介绍 第3题
📝 题目
例 3 试写出拉普拉斯算子 $\Delta$ 在平面极坐标中的表示.
💡 答案解析
解 我们可以利用上例中的计算公式. 对于函数 $u = u\left( {r,\theta }\right)$ , 应有
$$ \frac{\partial u}{\partial z} \equiv 0, $$
因而
$$ {\Delta u} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( {r\frac{\partial u}{\partial r}}\right) + \frac{1}{{r}^{2}}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^{2}}. $$
\part{第六篇级数与含参变元的积分}
自然界中, 量的函数关系是多种多样的. 为了便于研究, 人们常用一定的式子表示函数关系. 能用 “初等” 式子表示的函数 (即所谓初等函数)只是多种多样的函数关系中较少的一部分. 为了表示更复杂的函数, 就需要发展更多的表示函数的工具. 本篇将要介绍的函数项级数和含参变元的积分, 就是这样的工具.
在研究函数项级数之前, 我们先要对数项级数做一些考察.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：回忆拉普拉斯算子在直角坐标中的定义以及坐标变换关系
拉普拉斯算子定义为 Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y²。平面极坐标与直角坐标的关系为 x = r cosθ, y = r sinθ。
公式：Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y²
提示：注意极坐标中 r 和 θ 是独立变量，函数 u 依赖于 r 和 θ。
步骤 2/3
目标：利用链式法则将偏导数从直角坐标变换到极坐标
首先，将 ∂u/∂x 和 ∂u/∂y 用极坐标表示：∂u/∂x = (∂u/∂r)(∂r/∂x) + (∂u/∂θ)(∂θ/∂x)，类似地 ∂u/∂y。然后计算二阶偏导数。
公式：∂/∂x = cosθ ∂/∂r - (sinθ/r) ∂/∂θ, ∂/∂y = sinθ ∂/∂r + (cosθ/r) ∂/∂θ
提示：注意 r = √(x²+y²), θ = arctan(y/x)，并正确计算 ∂r/∂x, ∂r/∂y, ∂θ/∂x, ∂θ/∂y。
步骤 3/3
目标：计算二阶偏导数并求和
将 ∂²u/∂x² 和 ∂²u/∂y² 分别用极坐标表示，然后相加。经过化简，得到 Δu = (1/r) ∂/∂r (r ∂u/∂r) + (1/r²) ∂²u/∂θ²。
公式：Δu = (1/r) ∂/∂r (r ∂u/∂r) + (1/r²) ∂²u/∂θ²
提示：化简过程中注意合并同类项，并利用 ∂²u/∂r∂θ 的对称性。
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