新讲 第18章 数项级数 第8题

教材习题

📝 题目

例 8 高斯超几何级数定义为

$$ 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\alpha + n - 1}\right) \cdot \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\gamma + n - 1}\right) }{x}^{n}. $$

设 $\alpha ,\beta ,\gamma ,x > 0$ ,试考察该级数的敛散情况.

💡 答案解析

解 我们有

$$ \frac{{a}_{n}}{{a}_{n + 1}} = \frac{\left( {n + 1}\right) \left( {\gamma + n}\right) }{\left( {\alpha + n}\right) \left( {\beta + n}\right) }\frac{1}{x} = \frac{\left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \left( {1 + \frac{\gamma }{n}}\right) }{\left( {1 + \frac{\alpha }{n}}\right) \left( {1 + \frac{\beta }{n}}\right) }\frac{1}{x}. $$

因为

$$ {\left( 1 + \frac{\alpha }{n}\right) }^{-1} = 1 - \frac{\alpha }{n} + O\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) , $$

$$ {\left( 1 + \frac{\beta }{n}\right) }^{-1} = 1 - \frac{\beta }{n} + O\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) , $$

所以

$$ \frac{{a}_{n}}{{a}_{n + 1}} = \frac{1}{x}\left( {1 + \frac{1 + \gamma - \alpha - \beta }{n} + O\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) }\right) . $$

根据高斯判别法可以断定:

如果 $x < 1$ ,或者 $x = 1,\gamma > \alpha + \beta$ ,那么该级数收敛;

如果 $x > 1$ ,或者 $x = 1,\gamma \leq \alpha + \beta$ ,那么该级数发散.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出级数通项公式
记级数通项为 a_n，其中 a_0=1，对于 n≥1，有 a_n = [α(α+1)...(α+n-1) * β(β+1)...(β+n-1)] / [n! * γ(γ+1)...(γ+n-1)] * x^n。
公式：a_n = \frac{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1) \cdot \beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)}{n! \gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)} x^n
提示：注意 a_0=1，但判别时通常从 n≥1 开始。
步骤 2/5
目标：计算相邻项比值
计算 a_n / a_{n+1}，化简得到表达式。
公式：\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)(\gamma+n)}{(\alpha+n)(\beta+n)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{(1+1/n)(1+\gamma/n)}{(1+\alpha/n)(1+\beta/n)} \cdot \frac{1}{x}
提示：注意分子分母的阶乘和乘积项要仔细约简。
步骤 3/5
目标：展开为渐近形式
将 (1+α/n)^{-1} 和 (1+β/n)^{-1} 展开为 1 - α/n + O(1/n^2) 等，代入比值表达式，合并得到 1/x [1 + (1+γ-α-β)/n + O(1/n^2)]。
公式：\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{1+\gamma-\alpha-\beta}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)
提示：展开时保留到 1/n 项，高阶项用 O(1/n^2) 表示。
步骤 4/5
目标：应用高斯判别法
高斯判别法：若 a_n/a_{n+1} = 1 + μ/n + O(1/n^2)，则当 μ>1 时级数收敛，μ≤1 时发散。这里 μ = (1+γ-α-β)/x? 注意：实际判别法需要将比值写为 1 + μ/n + O(1/n^2) 形式，其中 μ 与 x 有关。但此处比值是 1/x [1 + (1+γ-α-β)/n + ...]，所以需要分情况讨论 x 与 1 的关系。
公式：高斯判别法：若 \frac{a_n}{a_{n+1}} = 1 + \frac{\mu}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)，则 μ>1 时收敛，μ≤1 时发散。
提示：注意当 x≠1 时，比值的主项是 1/x，需要先比较 x 与 1 的大小。
步骤 5/5
目标：分情况讨论敛散性
当 x<1 时，1/x > 1，比值大于 1，级数收敛；当 x>1 时，1/x < 1，比值小于 1，级数发散；当 x=1 时，比值 = 1 + (1+γ-α-β)/n + O(1/n^2)，此时 μ = 1+γ-α-β，所以当 μ>1 即 γ>α+β 时收敛，μ≤1 即 γ≤α+β 时发散。
公式：收敛条件：x<1 或 (x=1 且 γ>α+β)；发散条件：x>1 或 (x=1 且 γ≤α+β)
提示：注意 x=1 时，需要比较 γ 与 α+β 的大小。

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