新讲 第18章 数项级数 第8题

教材习题

📝 题目

例 8 设 $\displaystyle{\sum {b}_{k}}$ 是收敛级数,求证

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}k{b}_{k} = 0 $$

💡 答案解析

证明 我们记

$$ {B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{b}_{k},\;B = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{b}_{k}. $$

对有限和

$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}k{b}_{k} $$

应用分部求和公式得

$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}k{b}_{k} = - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}{B}_{k} + n{B}_{n}. $$

于是

$$ \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}k{b}_{k} = {B}_{n} - \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}{B}_{k}. $$

因为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}{B}_{k} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{B}_{n} = B, $$

所以

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}k{b}_{k} = 0. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：定义部分和序列
记 B_n = ∑_{k=1}^n b_k，B = lim_{n→∞} B_n = ∑_{k=1}^∞ b_k。
公式：B_n = ∑_{k=1}^n b_k, B = lim_{n→∞} B_n
提示：由于级数收敛，B_n 收敛到 B。
步骤 2/4
目标：应用分部求和公式
对有限和 ∑_{k=1}^n k b_k 应用分部求和公式：∑_{k=1}^n k b_k = -∑_{k=1}^{n-1} B_k + n B_n。
公式：∑_{k=1}^n k b_k = -∑_{k=1}^{n-1} B_k + n B_n
提示：分部求和公式类似于分部积分，这里取 a_k = k, Δa_k = 1, b_k 的累加为 B_k。
步骤 3/4
目标：除以 n 并化简
将上式两边除以 n 得：1/n ∑_{k=1}^n k b_k = B_n - 1/n ∑_{k=1}^{n-1} B_k。
公式：1/n ∑_{k=1}^n k b_k = B_n - 1/n ∑_{k=1}^{n-1} B_k
提示：注意求和到 n-1。
步骤 4/4
目标：利用极限性质
由于 B_n → B，且 1/n ∑_{k=1}^{n-1} B_k → B（因为 B_k 收敛到 B，其前 n-1 项平均也趋于 B），所以极限为 B - B = 0。
公式：lim_{n→∞} 1/n ∑_{k=1}^{n-1} B_k = B
提示：这是 Cauchy 平均极限定理的应用。

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