新讲 第19章 函数序列与函数级数 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 考察函数序列

$$ {f}_{n}\left( x\right) = 2{n}^{2}x{\mathrm{e}}^{-{n}^{2}{x}^{2}},\;n = 1,2,\cdots . $$

这函数序列在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上逐点收敛于函数

$$ f\left( x\right) = 0. $$

但我们有

$$ {f}_{n}\left( \frac{1}{n}\right) - f\left( \frac{1}{n}\right) = {2n}{\mathrm{e}}^{-1} \rightarrow + \infty . $$

因而这函数序列在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上不一致收敛.

利用下面的柯西原理,无须事先求出极限函数,就能判别一个函数序列是否一致收敛.

定理 2 (一致收敛的柯西原理) 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 的各项在集合 $E$ 上有定义. 则这序列在 $E$ 上一致收敛于某极限函数的充要条件是: 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N = N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $m,n > N$ ,就有

$$ \left| {{f}_{m}\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$

💡 答案解析

证明 先证必要性. 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 一致收敛于函数 $f\left( x\right)$ . 则对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $n > N$ 时,

$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| < \frac{\varepsilon }{2},\;\forall x \in E. $$

于是,只要 $m,n > N$ ,就有

$$ \left| {{f}_{m}\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| $$

$$ \leq \left| {{f}_{m}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| + \left| {f\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| $$

$$ < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$

再证充分性. 对任意取定的 ${x}_{0} \in E$ ,数列 $\left\{ {{f}_{n}\left( {x}_{0}\right) }\right\}$ 满足柯西条件,因而收敛于一个实数. 我们记这实数为 $f\left( {x}_{0}\right)$ . 用这样的方式, 定义了一个函数

$$ f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{f}_{n}\left( x\right) ,\;x \in E. $$

对任意的 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N,p \in \mathbb{N}$ ,就有

$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - {f}_{n + p}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$

在上面的不等式中让 $\displaystyle{p \rightarrow + \infty}$ 取极限,就得到

$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| \leq \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$

这就证明了函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 一致收敛于函数 $f\left( x\right)$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明必要性：若函数序列一致收敛，则满足柯西条件
设函数序列 {f_n(x)} 在 E 上一致收敛于 f(x)。对任意 ε>0，存在 N∈ℕ，使得当 n>N 时，|f_n(x)-f(x)|<ε/2 对所有 x∈E 成立。于是当 m,n>N 时，|f_m(x)-f_n(x)| ≤ |f_m(x)-f(x)|+|f(x)-f_n(x)| < ε/2+ε/2=ε，对所有 x∈E 成立。
公式：|f_m(x)-f_n(x)| ≤ |f_m(x)-f(x)|+|f(x)-f_n(x)|
提示：利用一致收敛定义和三角不等式
步骤 2/2
目标：证明充分性：若函数序列满足柯西条件，则一致收敛
对任意固定的 x0∈E，数列 {f_n(x0)} 满足柯西条件，故收敛于某实数，记为 f(x0)。这样定义了函数 f(x)=lim_{n→∞} f_n(x)。对任意 ε>0，存在 N∈ℕ，使得当 n>N 且 p∈ℕ 时，|f_n(x)-f_{n+p}(x)|<ε 对所有 x∈E 成立。固定 n>N，令 p→∞，得 |f_n(x)-f(x)|≤ε 对所有 x∈E 成立。因此 {f_n(x)} 一致收敛于 f(x)。
公式：|f_n(x)-f(x)| = lim_{p→∞} |f_n(x)-f_{n+p}(x)| ≤ ε
提示：利用点态收敛定义和极限不等式

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