新讲 第20章 傅里叶级数 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $\alpha$ 不是整数,试将函数

$$ f\left( t\right) = \cos {\alpha t},\;t \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack $$

展开成傅里叶级数.

💡 答案解析

解 我们扩充这函数的定义,使它成为一个周期为 ${2\pi }$ 的函数. 扩充后的函数记为 $\widetilde{f}\left( t\right)$ . 因为 $\widetilde{f}\left( t\right)$ 是偶函数,所以它的傅里叶级数只含有余弦部分. 计算系数得:

$$ {a}_{0} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos {\alpha t}\mathrm{\;d}t = \frac{2\sin {\alpha \pi }}{\alpha \pi }, $$

$$ {a}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\cos {\alpha t} \cdot \cos {nt}\mathrm{\;d}t $$

$$ = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\left\lbrack {\cos \left( {\alpha - n}\right) t + \cos \left( {\alpha + n}\right) t}\right\rbrack \mathrm{d}t $$

$$ = \frac{1}{\pi }\left\lbrack {\frac{\sin \left( {\alpha - n}\right) \pi }{\alpha - n} + \frac{\sin \left( {\alpha + n}\right) \pi }{\alpha + n}}\right\rbrack $$

$$ = \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{\pi }\sin {\alpha \pi }\left\lbrack {\frac{1}{\alpha - n} + \frac{1}{\alpha + n}}\right\rbrack $$

$$ = {\left( -1\right) }^{n}\frac{{2\alpha }\sin {\alpha \pi }}{\pi \left( {{\alpha }^{2} - {n}^{2}}\right) },\;n = 1,2,\cdots . $$

我们得到这函数的傅里叶展式:

$$ \widetilde{f}\left( t\right) = \frac{\sin {\alpha \pi }}{\pi }\left( {\frac{1}{\alpha } + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{2\alpha }\cos {nt}}{{\alpha }^{2} - {n}^{2}}}\right) . $$

限制在 $\left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack$ 上就得到:

$$ \cos {\alpha t} = \frac{\sin {\alpha \pi }}{\pi }\left( {\frac{1}{\alpha } + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{2\alpha }\cos {nt}}{{\alpha }^{2} - {n}^{2}}}\right) , \tag{3.7} $$

$$ t \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack \text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：将函数周期延拓为周期2π的偶函数
将定义在[-π,π]上的函数f(t)=cos(αt)周期延拓到整个实数轴，得到周期为2π的函数˜f(t)。由于cos是偶函数，延拓后˜f(t)仍是偶函数，因此傅里叶级数只含余弦项。
提示：周期延拓时注意保持函数在端点处的值一致，但本题中由于α不是整数，端点处值可能不连续，但傅里叶级数在间断点处收敛到平均值。
步骤 2/6
目标：计算傅里叶系数a0
利用偶函数性质，a0 = (2/π)∫_0^π cos(αt) dt。计算积分得 a0 = (2 sin(απ))/(απ)。
公式：a0 = (2/π)∫_0^π cos(αt) dt = (2 sin(απ))/(απ)
提示：注意a0公式中的系数2/π来自偶函数傅里叶级数公式。
步骤 3/6
目标：计算傅里叶系数an (n≥1)
利用偶函数性质，an = (2/π)∫_0^π cos(αt) cos(nt) dt。使用积化和差公式将乘积转化为和差形式，然后逐项积分。
公式：an = (2/π)∫_0^π cos(αt) cos(nt) dt = (1/π)∫_0^π [cos((α-n)t) + cos((α+n)t)] dt
提示：积化和差公式：cosA cosB = [cos(A-B)+cos(A+B)]/2。
步骤 4/6
目标：计算积分并化简an
计算积分得 an = (1/π)[ sin((α-n)π)/(α-n) + sin((α+n)π)/(α+n) ]。利用 sin((α±n)π) = sin(απ)cos(nπ) ± cos(απ)sin(nπ) = (-1)^n sin(απ)，代入化简得 an = (-1)^n (2α sin(απ))/(π(α^2 - n^2))。
公式：an = (-1)^n * (2α sin(απ)) / (π(α^2 - n^2))
提示：注意α不是整数，所以分母不为零。
步骤 5/6
目标：写出傅里叶级数展开式
将a0和an代入傅里叶级数公式：˜f(t) = a0/2 + Σ_{n=1}^∞ an cos(nt)。代入得 ˜f(t) = (sin(απ)/π)[1/α + Σ_{n=1}^∞ (-1)^n (2α cos(nt))/(α^2 - n^2)]。
公式：˜f(t) = (sin(απ)/π)[1/α + Σ_{n=1}^∞ (-1)^n (2α cos(nt))/(α^2 - n^2)]
提示：注意a0/2 = sin(απ)/(απ)。
步骤 6/6
目标：限制在[-π,π]上得到原函数的展开式
由于在[-π,π]上˜f(t)=f(t)=cos(αt)，因此得到 cos(αt) = (sin(απ)/π)[1/α + Σ_{n=1}^∞ (-1)^n (2α cos(nt))/(α^2 - n^2)]，t∈[-π,π]。
公式：cos(αt) = (sin(απ)/π)[1/α + Σ_{n=1}^∞ (-1)^n (2α cos(nt))/(α^2 - n^2)]
提示：该展开式在t=±π处收敛到cos(απ)（因为函数连续？实际上α不是整数时，延拓后函数在端点可能不连续，但傅里叶级数收敛到平均值，而cos(απ)恰好是平均值，所以等式成立）。

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