新讲 第20章 傅里叶级数 第5题
📝 题目
例 5 在区间 $\left( {0,{2\pi }}\right)$ 将函数
$$ f\left( x\right) = \frac{\pi - x}{2} $$
展开为傅里叶级数.
💡 答案解析
解 首先补充规定
$$ f\left( 0\right) = f\left( {2\pi }\right) = 0, $$
然后按周期 ${2\pi }$ 扩充函数 $f\left( x\right)$ 的定义到整个数轴上. 扩充后的函数记为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ . 计算傅里叶系数得:
$$ {a}_{0} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\pi - x}{2}\mathrm{\;d}x = 0, $$
$$ {a}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\pi - x}{2}\cos {kx}\mathrm{\;d}x = 0, $$
$$ {b}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\pi - x}{2}\sin {kx}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{k}, $$
$$ k = 1,2,\cdots \text{ . } $$
于是, 我们得到
$$ \frac{\pi - x}{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\frac{\sin {kx}}{k},\;0 < x < {2\pi }. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：补充定义并周期延拓
首先补充规定 f(0)=f(2π)=0，然后按周期2π将函数f(x)的定义扩充到整个数轴上，得到周期函数̃f(x)。
提示：补充端点值是为了使函数在区间端点连续，满足傅里叶级数收敛条件。
步骤 2/5
目标：计算傅里叶系数a0
计算a0 = (1/π) ∫_{0}^{2π} (π-x)/2 dx = 0。
公式：a0 = (1/π) ∫_{0}^{2π} f(x) dx
提示：直接积分，注意被积函数是线性函数。
步骤 3/5
目标：计算傅里叶系数ak
计算ak = (1/π) ∫_{0}^{2π} (π-x)/2 cos(kx) dx = 0。
公式：ak = (1/π) ∫_{0}^{2π} f(x) cos(kx) dx
提示：利用奇偶性：被积函数关于x=π是奇函数，积分区间对称，结果为0。
步骤 4/5
目标：计算傅里叶系数bk
计算bk = (1/π) ∫_{0}^{2π} (π-x)/2 sin(kx) dx = 1/k。
公式：bk = (1/π) ∫_{0}^{2π} f(x) sin(kx) dx = 1/k
提示：使用分部积分法，注意积分上下限。
步骤 5/5
目标：写出傅里叶级数展开式
得到傅里叶级数展开式：(π-x)/2 = ∑_{k=1}^{∞} (sin(kx))/k，其中0
公式：f(x) = a0/2 + ∑_{k=1}^{∞} (ak cos(kx) + bk sin(kx))
提示：由于a0和ak均为0，级数只包含正弦项。
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