新讲 第21章 含参变元的积分 第1题
📝 题目
例 1 设 $b > a > 0$ ,试计算积分
$$ I = {\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{b} - {x}^{a}}{\ln x}\mathrm{\;d}x. $$
💡 答案解析
解 这积分可以写成
$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{b}{x}^{y}\mathrm{\;d}y. $$
因为函数
$$ f\left( {x,y}\right) = {x}^{y} $$
在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续,所以两个积分号可以交换次序. 我们得到
$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{b}{x}^{y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{1}{x}^{y}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}y}{y + 1} = \ln \frac{b + 1}{a + 1}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将积分转化为二重积分
注意到被积函数分子为 x^b - x^a，分母为 ln x，可写成 ∫_a^b x^y dy 的形式，从而原积分 I = ∫_0^1 dx ∫_a^b x^y dy。
公式：x^b - x^a = ∫_a^b x^y dy
提示：利用指数函数的积分公式：∫ x^y dy = x^y / ln x + C，但此处作为技巧将差写成积分。
步骤 2/4
目标：交换积分次序
由于被积函数 f(x,y)=x^y 在矩形区域 [0,1]×[a,b] 上连续，因此可以交换积分次序：I = ∫_a^b dy ∫_0^1 x^y dx。
公式：∫_0^1 dx ∫_a^b x^y dy = ∫_a^b dy ∫_0^1 x^y dx
提示：交换次序的条件是函数连续且积分区域为矩形，这里满足。
步骤 3/4
目标：计算内层积分
计算 ∫_0^1 x^y dx，对 x 积分，视 y 为常数：∫_0^1 x^y dx = [x^{y+1}/(y+1)]_0^1 = 1/(y+1)。
公式：∫_0^1 x^y dx = 1/(y+1)
提示：注意 y > -1，因为 a>0，所以 y+1>1，积分收敛。
步骤 4/4
目标：计算外层积分
计算 I = ∫_a^b 1/(y+1) dy = ln(y+1)|_a^b = ln((b+1)/(a+1))。
公式：∫ dy/(y+1) = ln|y+1| + C
提示：由于 a,b>0，y+1>0，绝对值可去掉。
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