新讲 第21章 含参变元的积分 第2题
📝 题目
例 2 考察定义于 $\lbrack 0, + \infty ) \times \lbrack 1, + \infty )$ 的函数
$$ F\left( {x,v}\right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{{v}^{2}}, & \text{ 如果 }x < v, \\ \frac{{2v} - x}{{v}^{2}}, & \text{ 如果 }v \leq x < {2v}, \\ 0 & \text{ 如果 }x \geq {2v}. \end{matrix}\right. $$
显然有
$$ \left| {F\left( {x,v}\right) }\right| \leq \frac{1}{v},\;\forall \left( {x,v}\right) \in \lbrack 0, + \infty ) \times \lbrack 1, + \infty ). $$
由此可知
$$ F\left( {x,v}\right) \rightarrow 0\;\left( {x \in \lbrack 0, + \infty }\right) ,v \rightarrow + \infty ). $$
但却有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = 1 \neq 0. $$
关于在广义积分号下取极限的充分条件, 我们有下面的引理:
引理 假设
(1) 函数 $F\left( {x,v}\right)$ 在 $\lbrack a, + \infty ) \times \lbrack b, + \infty )$ 连续;
(2)对任意的 $x \in \lbrack a, + \infty )$ ,存在有穷的极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}F\left( {x,v}\right) = \varphi \left( x\right) , $$
并且对任意给定的 $A > a$ ,当 $\displaystyle{v \rightarrow + \infty}$ 时,函数 $F\left( {x,v}\right)$ 关于 $x \in$ $\left\lbrack {a,A}\right\rbrack$ 一致地收敛于极限函数 $\varphi \left( x\right)$ ,即
$$ F\left( {x,v}\right) \rightarrow \varphi \left( x\right) \;\left( {x \in \left\lbrack {a,A}\right\rbrack ,v \rightarrow + \infty }\right) ; $$
(3)函数 $F\left( {x,v}\right)$ 能被一个与 $v$ 无关的可积函数 “控制”——这就是说: 存在一个定义于 $\lbrack a, + \infty )$ 的非负函数 $G\left( x\right)$ ,使得
$$ {\int }_{a}^{+\infty }G\left( x\right) \mathrm{d}x < + \infty $$
和
$$ \left| {F\left( {x,v}\right) }\right| \leq G\left( x\right) ,\;\forall x \in \lbrack a, + \infty ),v \in \lbrack b, + \infty ). $$
在上面所说的条件下, 我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{+\infty }\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x, $$
也就是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{+\infty }\left( {\mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}F\left( {x,v}\right) }\right) \mathrm{d}x. $$
💡 答案解析
证明 首先, 依据条件 (2) 和条件 (3), 我们得到
$$ \left| {\varphi \left( x\right) }\right| \leq G\left( x\right) ,\;\forall x \in \lbrack a, + \infty ). $$
其次,由条件 (3) 可知,对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ ,存在 $A > a$ ,使得
$$ {\int }_{A}^{+\infty }G\left( x\right) \mathrm{d}x < \frac{\varepsilon }{3}. $$
于是有
$$ \left| {{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{+\infty }\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x}\right| $$
$$ \leq {\int }_{a}^{A}\left| {F\left( {x,v}\right) - \varphi \left( x\right) }\right| \mathrm{d}x $$
$$ + {\int }_{A}^{+\infty }\left| {F\left( {x,v}\right) }\right| \mathrm{d}x + {\int }_{A}^{+\infty }\left| {\varphi \left( x\right) }\right| \mathrm{d}x $$
$$ \leq {\int }_{a}^{A}\left| {F\left( {x,v}\right) - \varphi \left( x\right) }\right| \mathrm{d}x $$
$$ + {\int }_{A}^{+\infty }G\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{A}^{+\infty }G\left( x\right) \mathrm{d}x $$
$$ < {\int }_{a}^{A}\left| {F\left( {x,v}\right) - \varphi \left( x\right) }\right| \mathrm{d}x + \frac{2}{3}\varepsilon . $$
因为当 $\displaystyle{v \rightarrow + \infty}$ 时,函数 $F\left( {x,v}\right)$ 关于 $x \in \left\lbrack {a,A}\right\rbrack$ 一致地收敛于极限函数 $\varphi \left( x\right)$ (条件 (2)),所以存在 $\Delta > b$ ,使得只要是 $v > \Delta$ ,就有
$$ {\int }_{a}^{A}\left| {F\left( {x,v}\right) - \varphi \left( x\right) }\right| \mathrm{d}x < \frac{\varepsilon }{3}. $$
于是,只要 $v > \Delta$ ,就有
$$ \left| {{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x - {\int }_{a}^{+\infty }\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x}\right| < \varepsilon . $$
定理 8 设函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在
$$ \lbrack a, + \infty ) \times \lbrack b, + \infty ) $$
上连续. 如果
(1)任给 $A > a$ ,积分
$$ {\int }_{b}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y $$
对 $x \in \left\lbrack {a,A}\right\rbrack$ 一致收敛;
(2)任给 $B > b$ ,积分
$$ {\int }_{a}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x $$
对 $y \in \left\lbrack {b,B}\right\rbrack$ 一致收敛;
(3) $$ {\int }_{a}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{b}^{+\infty }\left| {f\left( {x,y}\right) }\right| \mathrm{d}y < + \infty $$
或者
$$ {\int }_{b}^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_{a}^{+\infty }\left| {f\left( {x,y}\right) }\right| \mathrm{d}x < + \infty , $$
那么就有
$$ {\int }_{a}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{b}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{b}^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_{a}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x. $$
证明 为确定起见, 设有
$$ {\int }_{a}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{b}^{+\infty }\left| {f\left( {x,y}\right) }\right| \mathrm{d}y < + \infty . $$
我们记
$$ F\left( {x,v}\right) = {\int }_{b}^{v}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y, $$
$$ \varphi \left( x\right) = {\int }_{b}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y, $$
$$ G\left( x\right) = {\int }_{b}^{+\infty }\left| {f\left( {x,y}\right) }\right| \mathrm{d}y. $$
这样定义的 $F\left( {x,v}\right) ,\varphi \left( x\right)$ 和 $G\left( x\right)$ 满足上面引理中的全部条件,因而有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{+\infty }\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x. $$
容易看出
$$ \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{+\infty }F\left( {x,v}\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{a}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{b}^{v}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{v \rightarrow + \infty }}{\int }_{b}^{v}\mathrm{\;d}y{\int }_{a}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x $$
$$ = {\int }_{b}^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_{a}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x, $$
$$ {\int }_{a}^{+\infty }\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{b}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y. $$
我们证明了
$$ {\int }_{b}^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_{a}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{b}^{+\infty }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y. $$