新讲 第21章 含参变元的积分 第6题

教材习题

📝 题目

例 6 试计算积分

$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2\beta x}\mathrm{\;d}x. $$

💡 答案解析

解 我们记

$$ I\left( \beta \right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2\beta x}\mathrm{\;d}x. $$

对参数 $\beta$ 求导得到

$$ {I}^{\prime }\left( \beta \right) = - {\int }_{0}^{+\infty }{2x}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\sin {2\beta x}\mathrm{\;d}x. $$

用分部积分法计算得

$$ {I}^{\prime }\left( \beta \right) = {\left. {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\sin 2\beta x\right| }_{0}^{+\infty } - {2\beta }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2\beta x}\mathrm{\;d}x $$

$$ = - {2\beta I}\left( \beta \right) \text{ . } $$

通过解微分方程

$$ {I}^{\prime }\left( \beta \right) = - {2\beta I}\left( \beta \right) $$

我们得到

$$ I\left( \beta \right) = C{\mathrm{e}}^{-{\beta }^{2}}. $$

因为 (参看第十三章 §5 中的

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：引入含参积分
定义 I(β) = ∫₀^{+∞} e^{-x²} cos(2βx) dx，将积分视为参数β的函数。
公式：I(β) = ∫₀^{+∞} e^{-x²} cos(2βx) dx
提示：参数β在余弦函数中，积分收敛性由e^{-x²}保证。
步骤 2/7
目标：对参数求导
在积分号下对β求导，得到 I'(β) = -∫₀^{+∞} 2x e^{-x²} sin(2βx) dx。
公式：I'(β) = -∫₀^{+∞} 2x e^{-x²} sin(2βx) dx
提示：求导后积分仍收敛，可交换次序。
步骤 3/7
目标：分部积分
对 I'(β) 进行分部积分：令 u = sin(2βx), dv = -2x e^{-x²} dx，则 du = 2β cos(2βx) dx, v = e^{-x²}。得到 I'(β) = [e^{-x²} sin(2βx)]₀^{+∞} - 2β ∫₀^{+∞} e^{-x²} cos(2βx) dx。
公式：I'(β) = [e^{-x²} sin(2βx)]₀^{+∞} - 2β I(β)
提示：边界项在0处为0，在无穷远处为0，因为e^{-x²}衰减。
步骤 4/7
目标：简化微分方程
边界项为0，因此 I'(β) = -2β I(β)。
公式：I'(β) = -2β I(β)
提示：得到一阶线性齐次微分方程。
步骤 5/7
目标：求解微分方程
分离变量：dI/I = -2β dβ，积分得 ln|I| = -β² + C，即 I(β) = C e^{-β²}。
公式：I(β) = C e^{-β²}
提示：常数C由初始条件确定。
步骤 6/7
目标：确定常数
令β=0，则 I(0) = ∫₀^{+∞} e^{-x²} dx = √π/2，所以 C = √π/2。
公式：I(0) = √π/2
提示：利用已知的Gauss积分结果。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此 I(β) = (√π/2) e^{-β²}。
公式：∫₀^{+∞} e^{-x²} cos(2βx) dx = (√π/2) e^{-β²}
提示：结果与β的符号无关。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第5题 返回列表 第7题 →