新讲 第21章 含参变元的积分 第7题
📝 题目
例 7 试计算拉普拉斯 (Laplace) 积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x\;\text{ 和 }\;{\int }_{0}^{+\infty }\frac{x\sin {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x. $$
💡 答案解析
解 我们记
$$ I\left( \beta \right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\cos {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x, $$
$$ J\left( \beta \right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{x\sin {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x. $$
对于 $\beta \geq b > 0$ ,积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{x\sin {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x \tag{3.3} $$
是一致收敛的. 事实上, 因为
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{x}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\right) = \frac{{\alpha }^{2} - {x}^{2}}{{\left( {\alpha }^{2} + {x}^{2}\right) }^{2}}, $$
所以函数
$$ \frac{x}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}} $$
对于 $x > \alpha$ 是单调下降的,并且显然有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{x}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}} = 0. $$
另一方面, 容易看出
$$ \left| {{\int }_{0}^{u}\sin {\beta x}\mathrm{\;d}x}\right| \leq \frac{2}{b},\;\forall \beta \geq b,u \geq 0. $$
根据狄利克雷判别法, 我们断定积分 (3.3) 是一致收敛的. 下面计算 $I\left( \beta \right)$ 的 1 阶和 2 阶导数. 在积分号下求导一次,我们得到
$$ {I}^{\prime }\left( \beta \right) = - {\int }_{0}^{+\infty }\frac{x\sin {\beta x}}{{\alpha }^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x. \tag{3.4} $$
再在积分号下求导是不允许的. 我们采取以下办法克服这一困难. 已经知道 (见