新讲 第21章 含参变元的积分 第678题
📝 题目
例 3 试计算积分
$$ {\int }_{0}^{\pi /2}{\left( \tan x\right) }^{a}\mathrm{\;d}x\;\left( {\left| \alpha \right| < 1}\right) . $$
💡 答案解析
解 我们有
$$ {\int }_{0}^{\pi /2}{\left( \tan x\right) }^{a}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\pi /2}{\sin }^{a}x \cdot {\cos }^{-a}x\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{2}\Gamma \left( \frac{1 + \alpha }{2}\right) \Gamma \left( \frac{1 - \alpha }{2}\right) $$
$$ = \frac{1}{2}\Gamma \left( \frac{1 + \alpha }{2}\right) \Gamma \left( {1 - \frac{1 + \alpha }{2}}\right) $$
$$ = \frac{1}{2}\frac{\pi }{\sin \frac{1 + \alpha }{2}\pi } = \frac{\pi }{2\cos \frac{\alpha \pi }{2}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将积分转化为Beta函数形式
将tan x写成sin x/cos x，得到积分∫₀^{π/2} sin^a x cos^{-a} x dx。
公式：tan x = sin x / cos x
提示：注意指数运算： (tan x)^a = sin^a x cos^{-a} x。
步骤 2/4
目标：利用Beta函数与Gamma函数的关系
根据Beta函数定义：B(p,q)=∫₀^{π/2} sin^{2p-1} x cos^{2q-1} x dx，令2p-1=a，2q-1=-a，解得p=(1+a)/2，q=(1-a)/2。因此积分等于(1/2)B((1+a)/2, (1-a)/2) = (1/2)Γ((1+a)/2)Γ((1-a)/2)。
公式：B(p,q)=∫₀^{π/2} sin^{2p-1} x cos^{2q-1} x dx = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)
提示：注意p+q=1，所以Γ(p+q)=Γ(1)=1。
步骤 3/4
目标：利用Gamma函数的余元公式化简
由于(1-a)/2 = 1 - (1+a)/2，根据余元公式Γ(z)Γ(1-z)=π/sin(πz)，令z=(1+a)/2，则Γ((1+a)/2)Γ(1-(1+a)/2)=π/sin((1+a)π/2)。因此积分等于(1/2) * π/sin((1+a)π/2)。
公式：Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz)
提示：注意sin((1+a)π/2) = cos(aπ/2)。
步骤 4/4
目标：得到最终结果
利用sin((1+a)π/2)=cos(aπ/2)，所以积分=π/(2 cos(aπ/2))。
公式：sin((1+a)π/2) = cos(aπ/2)
提示：最终结果简洁，注意|a|<1保证积分收敛。
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