新讲 第3章 连续函数 第4题
📝 题目
例 4 函数 $g\left( x\right) = \sin x/x$ 在开区间(0,1)上连续,它在该开区间上是有界的:
$$ \left| {g\left( x\right) }\right| \leq 1,\;\forall x \in \left( {0,1}\right) . $$
定理 4 (最大值与最小值定理) 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续, 记
$$ M = \mathop{\sup }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}f\left( x\right) ,\;m = \mathop{\inf }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}f\left( x\right) , $$
则存在 ${x}^{\prime },{x}^{\prime \prime } \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得
$$ f\left( {x}^{\prime }\right) = M,\;f\left( {x}^{\prime \prime }\right) = m. $$
💡 答案解析
证明 由定理 3 可知
$$ - \infty < m \leq M < + \infty \text{ . } $$
我们根据上确界的定义可以断定: 对任意 $n \in \mathbb{N}$ ,必定存在 ${x}_{n} \in$ $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得
$$ M - \frac{1}{n} < f\left( {x}_{n}\right) \leq M. $$
从有界序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 之中,可以选取收敛的子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ ,设
$$ {x}_{{n}_{k}} \rightarrow {x}^{\prime } \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack $$
由函数 $f$ 在 ${x}^{\prime }$ 点的连续性可得
$$ f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) \rightarrow f\left( {x}^{\prime }\right) \text{ . } $$
但我们有
$$ M - \frac{1}{{n}_{k}} < f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) \leq M. $$
在上面不等式中让 $\displaystyle{k \rightarrow + \infty}$ ,取极限即得
$$ f\left( {x}^{\prime }\right) = \lim f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) = M. $$
关于最小值的论断可仿此做出证明.