新讲 第3章 连续函数 第10题
📝 题目
例 10 设 $f\left( x\right) = {x}^{\nu }\left( {\nu > 0}\right) ,g\left( x\right) = {\log }_{a}x\left( {a > 1}\right)$ . 我们指出 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\log }_{a}x}{{x}^{v}} = 0. $$ 这说明对数函数 ${\log }_{a}x$ 是比任何幂函数 ${x}^{\nu }$ 更低阶的无穷大量. 事实上,令 $y = {\log }_{a}x$ ,则有 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{\log }_{a}x}{{x}^{v}} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}\frac{y}{{\left( {a}^{v}\right) }^{y}} = 0. $$ 我们对符号 $O,o$ 的用法做一点说明. 记号 $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ （或者 $o\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ ） 不是表示一个具体的量,而是表示量的一种类型. 式子 $\psi \left( x\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ 表示 $\psi \left( x\right)$ 是属于 $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ 这种类型的一个量. 式中的等号“ $=$ ”应该当作属于符号“ $\in$ ”来理解. 而式子 $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right) =$ $\psi \left( x\right)$ 就没有明确的意义. 因此,涉及符号 $O$ 或 $o$ 的 “等式”,不能像通常的等式那样将其左右两边交换. 定理 1 设 $\varphi \left( x\right)$ 和 $\psi \left( x\right)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定 义, $\varphi \left( x\right) \neq 0$ . 则有 $$ \psi \left( x\right) \sim \varphi \left( x\right) \Leftrightarrow \psi \left( x\right) = \varphi \left( x\right) + o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) . $$
💡 答案解析
证明 我们有: $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{\psi \left( x\right) }{\varphi \left( x\right) } = 1 \Leftrightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {\frac{\psi \left( x\right) }{\varphi \left( x\right) } - 1}\right) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{\psi \left( x\right) - \varphi \left( x\right) }{\varphi \left( x\right) } = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \psi \left( x\right) - \varphi \left( x\right) = o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) $$ $$ \Leftrightarrow \psi \left( x\right) = \varphi \left( x\right) + o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) . $$ 关于 $O$ 和 $o$ ,有以下关系: 定理 2 设 $\varphi \left( x\right)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域上有定义并且不等于 0,则有 (1) $o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ ; (2) $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right) + O\left( {\varphi \left( x\right) }\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ ; (3) $o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) + o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) = o\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ ; (4) $o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) O\left( 1\right) = o\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ , $o\left( 1\right) O\left( {\varphi \left( x\right) }\right) = o\left( {\varphi \left( x\right) }\right) .$ 证明 只要弄清楚各式的含义, 证明就是显然的了. 结论 (1) 说: 一个 $o\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ 型的量必定也是 $O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ 型的量, 即如果 $\psi \left( x\right) = o\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ ,那么 $\psi \left( x\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ . 这是因为: 如果 $\frac{\psi \left( x\right) }{\varphi \left( x\right) }$ 是无穷小量,那么它也必定是有界变量. 结论 (2) 说: 如果 $f\left( x\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right) ,g\left( x\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ ,那么 $f\left( x\right) + g\left( x\right) = O\left( {\varphi \left( x\right) }\right)$ . 这就是说: 如果 $\frac{f\left( x\right) }{\varphi \left( x\right) }$ 和 $\frac{g\left( x\right) }{\varphi \left( x\right) }$ 都是有界变量,那么 $\frac{f\left( x\right) + g\left( x\right) }{\varphi \left( x\right) }$ 也是有界变量. 结论 (3) 的说明与结论 (2) 类似. 结论 (4) 依据的是这样的事实: 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量. 以下几个极限是分析中经常遇到的,希望读者熟记. I. $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x}{x} = 1 $$ 这一事实的证明已见于第二章 §5 的