新讲 第4章 导 数 第11题
📝 题目
例 11 考察函数 $g\left( x\right)$ 在 $x = 0$ 处是否可导,这里
$$ g\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x\sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$
💡 答案解析
解 我们有
$$ \frac{g\left( {0 + h}\right) - g\left( 0\right) }{h} = \sin \frac{1}{h}. $$
因为当 $h \rightarrow 0$ 时上式没有极限,所以函数 $g$ 在 $x = 0$ 处不可导. 还可以证明函数 $g$ 在 $x = 0$ 处没有任何一个单侧导数.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出差商表达式
根据导数定义，计算差商 (g(0+h)-g(0))/h。由于 g(0)=0，g(0+h)=h sin(1/h)（当 h≠0），所以差商为 sin(1/h)。
公式：\frac{g(0+h)-g(0)}{h} = \sin\frac{1}{h}
提示：注意 h 是自变量增量，可以正可以负。
步骤 2/3
目标：分析差商的极限
考察当 h→0 时，sin(1/h) 的极限。由于 sin(1/h) 在 h→0 时振荡，不趋近于任何固定值，因此极限不存在。
公式：\lim_{h\to 0}\sin\frac{1}{h} \text{ 不存在}
提示：可以取两个趋于0的序列，如 h_n=1/(nπ) 和 h_n=1/(2nπ+π/2)，得到不同极限值。
步骤 3/3
目标：得出结论
由于差商的极限不存在，根据导数定义，函数 g(x) 在 x=0 处不可导。进一步，单侧导数也不存在，因为左右极限均不存在。
提示：注意：函数在一点可导的充要条件是左右导数存在且相等。
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