新讲 第4章 导 数 第1题
📝 题目
例 1 求函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}\sin x$ 的导数.
💡 答案解析
解 我们有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{\prime }\sin x + {\mathrm{e}}^{x}{\left( \sin x\right) }^{\prime } $$
$$ = {\mathrm{e}}^{x}\sin x + {\mathrm{e}}^{x}\cos x $$
$$ = {\mathrm{e}}^{x}\left( {\sin x + \cos x}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用乘积法则
函数 f(x) = e^x sin x 是两个函数的乘积，因此使用乘积法则： (uv)' = u'v + uv'。
公式：(uv)' = u'v + uv'
提示：识别出 u = e^x, v = sin x
步骤 2/4
目标：分别求导
计算 u' = (e^x)' = e^x，v' = (sin x)' = cos x。
公式：(e^x)' = e^x, (sin x)' = cos x
提示：记住基本导数公式
步骤 3/4
目标：代入乘积法则
将 u', v, u, v' 代入乘积法则： f'(x) = e^x sin x + e^x cos x。
公式：f'(x) = e^x sin x + e^x cos x
提示：注意符号和顺序
步骤 4/4
目标：提取公因式
提取公因式 e^x 得到 f'(x) = e^x (sin x + cos x)。
公式：e^x sin x + e^x cos x = e^x (sin x + cos x)
提示：简化表达式
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