新讲 第4章 导 数 第6题
📝 题目
例 6 求 ${\left( \sin ax\right) }^{\prime },{\left( \tan bx\right) }^{\prime }$ 和 ${\left( {\mathrm{e}}^{cx}\right) }^{\prime }$ .
💡 答案解析
解 为了求 ${\left( \sin ax\right) }^{\prime }$ ,我们在心目中把 $y = {ax}$ 当作中间变量,先对中间变量求导,再乘以这中间变量对 $x$ 的导数. 具体的书写格式如下:
$$ {\left( \sin ax\right) }^{\prime } = \left( {\cos {ax}}\right) \cdot {\left( ax\right) }^{\prime } = a\cos {ax}. $$
类似地可求得
$$ {\left( \tan bx\right) }^{\prime } = \frac{1}{{\cos }^{2}{bx}} \cdot {\left( bx\right) }^{\prime } = \frac{b}{{\cos }^{2}{bx}}. $$
$$ {\left( {\mathrm{e}}^{cx}\right) }^{\prime } = \left( {\mathrm{e}}^{cx}\right) \cdot {\left( cx\right) }^{\prime } = c{\mathrm{e}}^{cx}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求 (sin ax)'
将 ax 视为中间变量，先对 sin 求导得 cos ax，再乘以 ax 对 x 的导数 a。
公式：(sin ax)' = cos ax * (ax)' = a cos ax
提示：注意复合函数求导法则：外层函数求导乘以内层函数导数。
步骤 2/3
目标：求 (tan bx)'
将 bx 视为中间变量，先对 tan 求导得 1/cos^2 bx，再乘以 bx 对 x 的导数 b。
公式：(tan bx)' = (1/cos^2 bx) * (bx)' = b / cos^2 bx
提示：tan x 的导数是 sec^2 x，即 1/cos^2 x。
步骤 3/3
目标：求 (e^{cx})'
将 cx 视为中间变量，先对 e 求导得 e^{cx}，再乘以 cx 对 x 的导数 c。
公式：(e^{cx})' = e^{cx} * (cx)' = c e^{cx}
提示：e^x 的导数是自身，复合函数需乘以内层导数。
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