新讲 第4章 导 数 第25题
📝 题目
例 25 设 $y = \ln \left( {1 + x}\right)$ ,求 ${y}^{\left( n\right) }$ .
💡 答案解析
解 ${y}^{\prime } = {\left( 1 + x\right) }^{-1} = \frac{1}{1 + x}$ .
$$ {y}^{\left( n\right) } = {\left( {\left( 1 + x\right) }^{-1}\right) }^{\left( n - 1\right) } $$
$$ = \left( {-1}\right) \left( {-2}\right) \cdots \left( {-\left( {n - 1}\right) }\right) {\left( 1 + x\right) }^{-n} $$
$$ = {\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{\left( {n - 1}\right) !}{{\left( 1 + x\right) }^{n}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数
对 y = ln(1+x) 求导，得到 y' = 1/(1+x)。
公式：y' = (1+x)^{-1}
提示：利用对数函数求导公式 (ln u)' = u'/u。
步骤 2/4
目标：将高阶导数转化为一阶导数的导数
y^{(n)} 是 y' 的 (n-1) 阶导数，即 y^{(n)} = ( (1+x)^{-1} )^{(n-1)}。
公式：y^{(n)} = ( (1+x)^{-1} )^{(n-1)}
提示：利用高阶导数的递推性质。
步骤 3/4
目标：计算 (1+x)^{-1} 的 (n-1) 阶导数
对 (1+x)^{-1} 求 (n-1) 阶导数，每次求导乘以 -1 并降低一次幂，得到 (-1)(-2)...(-(n-1)) (1+x)^{-n}。
公式：((1+x)^{-1})^{(n-1)} = (-1)(-2)...(-(n-1)) (1+x)^{-n}
提示：幂函数求导公式： (x^a)' = a x^{a-1}，注意负指数。
步骤 4/4
目标：化简系数
系数 (-1)(-2)...(-(n-1)) = (-1)^{n-1} (n-1)!，因此 y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! / (1+x)^n。
公式：y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}
提示：注意符号和阶乘的提取。
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