新讲 第5章 原函数与不定积分 第5题
📝 题目
例 5 求 $\displaystyle{\int {\sin }^{2}x\mathrm{\;d}x,\int {\cos }^{2}x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\int {\sin }^{2}x\mathrm{\;d}x = \int \frac{1 - \cos {2x}}{2}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin {2x} + C}$ .
$$ \int {\cos }^{2}x\mathrm{\;d}x = \int \frac{1 + \cos {2x}}{2}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin {2x} + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用三角恒等式降幂
使用倍角公式：sin²x = (1 - cos2x)/2，cos²x = (1 + cos2x)/2。
公式：sin²x = (1 - cos2x)/2, cos²x = (1 + cos2x)/2
提示：降幂是处理正余弦平方积分的常用技巧。
步骤 2/2
目标：分别积分
对 sin²x 积分：∫(1 - cos2x)/2 dx = (1/2)∫dx - (1/2)∫cos2x dx = (1/2)x - (1/4)sin2x + C。对 cos²x 积分：∫(1 + cos2x)/2 dx = (1/2)∫dx + (1/2)∫cos2x dx = (1/2)x + (1/4)sin2x + C。
公式：∫cos2x dx = (1/2)sin2x + C
提示：注意积分常数C不要遗漏。
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