新讲 第5章 原函数与不定积分 第6题
📝 题目
例 6 求 $\displaystyle{\int \tan x\mathrm{\;d}x,\int \cot x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 $\displaystyle \int \tan x\mathrm{\;d}x = - \int \frac{\mathrm{d}\left( {\cos x}\right) }{\cos x} = - \ln \left| {\cos x}\right| + C$ .
$$ \int \cot x\mathrm{\;d}x = \int \frac{\mathrm{d}\left( {\sin x}\right) }{\sin x} = \ln \left| {\sin x}\right| + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求∫tan x dx
将tan x写成sin x/cos x，然后进行换元：∫tan x dx = ∫(sin x/cos x) dx = -∫(1/cos x) d(cos x) = -∫ d(cos x)/cos x
公式：∫(1/u) du = ln|u| + C
提示：注意d(cos x) = -sin x dx，所以sin x dx = -d(cos x)
步骤 2/4
目标：计算积分∫tan x dx
根据积分公式，-∫ d(cos x)/cos x = -ln|cos x| + C
提示：结果需加绝对值，因为对数定义域为正数
步骤 3/4
目标：求∫cot x dx
将cot x写成cos x/sin x，然后进行换元：∫cot x dx = ∫(cos x/sin x) dx = ∫(1/sin x) d(sin x) = ∫ d(sin x)/sin x
公式：∫(1/u) du = ln|u| + C
提示：注意d(sin x) = cos x dx
步骤 4/4
目标：计算积分∫cot x dx
根据积分公式，∫ d(sin x)/sin x = ln|sin x| + C
提示：结果需加绝对值
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