新讲 第5章 原函数与不定积分 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 求 $\displaystyle{\int \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 和 $\displaystyle{\int \sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ .

💡 答案解析

解 利用分部积分法得

$$ \int \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = x\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}} - \int x\mathrm{\;d}\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}} $$

$$ = x\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}} - \int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = x\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}} - \int \frac{{a}^{2} + {x}^{2} - {a}^{2}}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = x\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}} - {a}^{2}\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}} - \int \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}\mathrm{\;d}x. $$

由此得到

$$ \int \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{x}{2}\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}} - \frac{{a}^{2}}{2}\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}} $$

$$ = \frac{x}{2}\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}} - \frac{{a}^{2}}{2}\ln \left| {x + \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}\right| + C. $$

用类似的办法可以求得

$$ \int \sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{x}{2}\sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}} + \frac{{a}^{2}}{2}\ln \left| {x + \sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}\right| + C. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：对 ∫√(x² - a²) dx 应用分部积分
设 u = √(x² - a²), dv = dx, 则 du = x/√(x² - a²) dx, v = x, 得 ∫√(x² - a²) dx = x√(x² - a²) - ∫ x * (x/√(x² - a²)) dx = x√(x² - a²) - ∫ x²/√(x² - a²) dx
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分时选择 u 为根式，dv 为 dx
步骤 2/6
目标：拆分积分项
将 x² 写为 (x² - a²) + a²，则 ∫ x²/√(x² - a²) dx = ∫ (x² - a² + a²)/√(x² - a²) dx = ∫ √(x² - a²) dx + a² ∫ dx/√(x² - a²)
公式：x² = (x² - a²) + a²
提示：分子加 a² 减 a² 以凑出根式项
步骤 3/6
目标：整理得到关于原积分的方程
代入得 ∫√(x² - a²) dx = x√(x² - a²) - [∫√(x² - a²) dx + a² ∫ dx/√(x² - a²)]，移项得 2∫√(x² - a²) dx = x√(x² - a²) - a² ∫ dx/√(x² - a²)
公式：移项后系数化为1
提示：注意积分符号的移动
步骤 4/6
目标：求解积分 ∫ dx/√(x² - a²)
该积分结果为 ln|x + √(x² - a²)| + C
公式：∫ dx/√(x² - a²) = ln|x + √(x² - a²)| + C
提示：此为基本积分公式，需记忆
步骤 5/6
目标：得到最终结果
代入得 ∫√(x² - a²) dx = (x/2)√(x² - a²) - (a²/2) ln|x + √(x² - a²)| + C
公式：∫√(x² - a²) dx = (x/2)√(x² - a²) - (a²/2) ln|x + √(x² - a²)| + C
提示：注意负号
步骤 6/6
目标：类似方法求 ∫√(x² + a²) dx
分部积分得 ∫√(x² + a²) dx = x√(x² + a²) - ∫ x²/√(x² + a²) dx，拆分 x² = (x² + a²) - a²，得 ∫√(x² + a²) dx = x√(x² + a²) - [∫√(x² + a²) dx - a² ∫ dx/√(x² + a²)]，移项得 2∫√(x² + a²) dx = x√(x² + a²) + a² ∫ dx/√(x² + a²)，利用 ∫ dx/√(x² + a²) = ln|x + √(x² + a²)| + C，得 ∫√(x² + a²) dx = (x/2)√(x² + a²) + (a²/2) ln|x + √(x² + a²)| + C
公式：∫√(x² + a²) dx = (x/2)√(x² + a²) + (a²/2) ln|x + √(x² + a²)| + C
提示：注意符号差异：a² 前为加号

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