方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.3题
📝 题目
5. 3.20 假设 $\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) \in {C}^{1}\left( {{\mathbf{R}}^{m},{\mathbf{R}}^{m}}\right)$ ,并且在 ${\mathbf{R}}^{m}$ 上 $\det D\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) \neq 0$ . 又当 $\left| \mathbf{x}\right| \rightarrow$ $\displaystyle{+ \infty}$ 时, $\left| {\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) }\right| \rightarrow + \infty$ . 证明: $\mathbf{f}\left( {\mathbf{R}}^{m}\right) = {\mathbf{R}}^{m}$ .
💡 答案解析
**题目**：假设 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) \in C^1(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^m)$，并且在 $\mathbb{R}^m$ 上 $\det D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \neq 0$。又当 $\\displaystyle{|\mathbf{x}| \to +\infty}$ 时，$\\displaystyle{|\mathbf{f}(\mathbf{x})| \to +\infty}$。证明：$\mathbf{f}(\mathbb{R}^m) = \mathbb{R}^m$。
**证明**：
我们需要证明 $\mathbf{f}$ 是满射，即对任意 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$，存在 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^m$ 使得 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{y}$。
---
### 第一步：证明 $\mathbf{f}$ 是开映射
由于 $\mathbf{f} \in C^1$ 且 $\det D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \neq 0$ 对所有 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^m$ 成立，根据**反函数定理**，$\mathbf{f}$ 在每一点附近都是局部微分同胚。具体来说，对任意 $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^m$，存在开邻域 $U$ 使得 $\mathbf{f}|_U$ 是从 $U$ 到 $\mathbf{f}(U)$ 的微分同胚，因此 $\mathbf{f}(U)$ 是开集。这说明 $\mathbf{f}$ 是**开映射**：它将任意开集映为开集（因为局部微分同胚保证局部将开集映为开集，而开映射性质是局部的）。
---
### 第二步：证明 $\mathbf{f}(\mathbb{R}^m)$ 是闭集
设 $\{\mathbf{y}_n\} \subset \mathbf{f}(\mathbb{R}^m)$ 且 $\mathbf{y}_n \to \mathbf{y}^* \in \mathbb{R}^m$。我们需要证明 $\mathbf{y}^* \in \mathbf{f}(\mathbb{R}^m)$。
由条件，存在 $\mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^m$ 使得 $\mathbf{f}(\mathbf{x}_n) = \mathbf{y}_n$。
**断言**：序列 $\{\mathbf{x}_n\}$ 是有界的。
反证：若 $\{\mathbf{x}_n\}$ 无界，则存在子列 $\{\mathbf{x}_{n_k}\}$ 满足 $\\displaystyle{|\mathbf{x}_{n_k}| \to +\infty}$。由题设条件，当 $\\displaystyle{|\mathbf{x}| \to +\infty}$ 时 $\\displaystyle{|\mathbf{f}(\mathbf{x})| \to +\infty}$，因此 $\\displaystyle{|\mathbf{f}(\mathbf{x}_{n_k})| = |\mathbf{y}_{n_k}| \to +\infty}$。但这与 $\mathbf{y}_{n_k} \to \mathbf{y}^*$（有界）矛盾。故 $\{\mathbf{x}_n\}$ 有界。
由 $\mathbb{R}^m$ 的局部紧致性，有界序列必有收敛子列。设 $\mathbf{x}_{n_k} \to \mathbf{x}^*$。由 $\mathbf{f}$ 的连续性，有 $$ \mathbf{f}(\mathbf{x}^*) = \lim_{k\to\infty} \mathbf{f}(\mathbf{x}_{n_k}) = \lim_{k\to\infty} \mathbf{y}_{n_k} = \mathbf{y}^*. $$ 因此 $\mathbf{y}^* \in \mathbf{f}(\mathbb{R}^m)$。这说明 $\mathbf{f}(\mathbb{R}^m)$ 是闭集。
---
### 第三步：利用连通性得到满射
我们已经证明： - $\mathbf{f}(\mathbb{R}^m)$ 是开集（因为 $\mathbf{f}$ 是开映射）。 - $\mathbf{f}(\mathbb{R}^m)$ 是闭集（由第二步）。 - $\mathbb{R}^m$ 是连通空间（事实上是道路连通的）。
在连通空间中，既开又闭的非空子集只能是整个空间。由于 $\mathbf{f}(\mathbb{R}^m) \neq \varnothing$（显然非空，例如取 $\mathbf{x}=0$ 得到像点），因此必有 $$ \mathbf{f}(\mathbb{R}^m) = \mathbb{R}^m. $$
---
**结论**：$\mathbf{f}$ 是满射，即 $\mathbf{f}(\mathbb{R}^m) = \mathbb{R}^m$。证毕。