方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.1题
📝 题目
6. 1.5 在 ${\mathbf{R}}^{2}$ 的区域 $D = \{ \left( {x,y}\right) \left| \right| x \mid \leq 1,\left| y\right| \leq 1\}$ 上给定函数
$$ f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{ 当 }x,y\text{ 都是有理数, } \\ 0, & \text{ 当 }x,y\text{ 至少有一是无理数. } \end{array}\right. $$
问 $f\left( {x,y}\right)$ 是否在 $D$ 上可积.
💡 答案解析
6. 1.1 ${V}^{ - }\left( E\right) = 0,{V}^{ + }\left( E\right) = 1$ ,故 $E$ 不可测.
6.1.3 取 ${E}_{1}$ 为题 6.1.1 中的 $E,{E}_{2} = \{ \left( {x,y}\right) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} \smallsetminus {E}_{1}$ , ${E}_{1} \smallsetminus {E}_{2}$ 是不可测图形.
6.1.5 不可积.
6.1.6 若 $\Omega$ 是容度为零的可测图形知结论不正确.
6.1.9 用直线 $x - y = {c}_{i}$ 把区域分割成几个小区域.
6.1.11 ${\underline{R}}^{m}$ 的 $n$ 阶网格可用作 $Q$ 的一个分划 $\left\{ {{\Omega }_{1},\cdots ,{\Omega }_{l}}\right\}$ ,若闭立方体 ${\Omega }_{i}$ 含于 $\bar{\Omega }$ 内,但不含于 $\mathring{\Omega }$ 内,必要时可对 ${\Omega }_{i}$ 添加一线段. 若闭立方体 ${\Omega }_{i}$ 与 $\Omega$ 的交集为空集,必要时也可对 ${\Omega }_{i}$ 添加一线段,这样得到 $\left\{ {{\Omega }_{1},\cdots ,{\Omega }_{l}}\right\}$ 仍为 $Q$ 的一个分划.