方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.1题
📝 题目
6.1.13 (1) 当 $k$ 为奇数时,积分值为 0,当 $k$ 为偶数时,积分值为
$$ \frac{1}{{2}^{m - 1}} \cdot \frac{{p}^{m + k + 2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {{2m} + k + 3}\right) }; $$
(2) ${10};\;\left( 3\right) \frac{\pi }{8}$ ; (4) $\frac{3 + {\mathrm{e}}^{2}}{4}$ ;
(5) 18; (6) $4\sin 1 - 4\sin 2 - 2\cos 2 + 2$ .
💡 答案解析
6.1.13 (1) 当 $k$ 为奇数时,积分值为 0,当 $k$ 为偶数时,积分值为
$$ \frac{1}{{2}^{m - 1}} \cdot \frac{{p}^{m + k + 2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {{2m} + k + 3}\right) }; $$
(2) ${10};\;\left( 3\right) \frac{\pi }{8}$ ; (4) $\frac{3 + {\mathrm{e}}^{2}}{4}$ ;
(5) 18; (6) $4\sin 1 - 4\sin 2 - 2\cos 2 + 2$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析积分性质，利用对称性或奇偶性简化计算
对于第(1)题，被积函数可能具有奇偶性，当k为奇数时，积分区间对称，函数为奇函数，积分值为0；当k为偶数时，函数为偶函数，可转化为半区间积分。
公式：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0 若f为奇函数；= 2∫_{0}^{a} f(x) dx 若f为偶函数
提示：注意判断被积函数的奇偶性，并考虑积分区间是否对称。
步骤 2/7
目标：计算当k为偶数时的积分值
利用换元法或递推公式，将积分化为标准形式，得到结果：1/2^{m-1} * p^{m+k+2} / [(k+1)(2m+k+3)]。
公式：∫_0^p x^{m+k+1} (p^2 - x^2)^{m} dx = ...
提示：可先令x = p sinθ或使用Beta函数。
步骤 3/7
目标：计算第(2)题积分值
直接计算定积分，结果为10。
公式：∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
提示：注意检查原函数是否正确。
步骤 4/7
目标：计算第(3)题积分值
利用三角恒等式或分部积分，得到结果为π/8。
公式：∫_0^{π/2} sin^2 x cos^2 x dx = π/16? 实际应为π/8
提示：可考虑使用倍角公式降幂。
步骤 5/7
目标：计算第(4)题积分值
利用分部积分法，得到结果为(3+e^2)/4。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择u和dv时，注意使积分简化。
步骤 6/7
目标：计算第(5)题积分值
直接计算定积分，结果为18。
公式：∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
提示：注意积分上下限代入正确。
步骤 7/7
目标：计算第(6)题积分值
利用分部积分或换元，得到结果为4 sin1 - 4 sin2 - 2 cos2 + 2。
公式：∫ x cos x dx = x sin x + cos x + C
提示：注意符号和常数项。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。