方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.1题

教材习题

📝 题目

6. 1.12 (1) $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{{\mathrm{e}}^{y}}^{\mathrm{e}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ ;

(2) $\displaystyle{\int }_{0}^{4}\mathrm{\;d}x{\int }_{\frac{x}{3}}^{\sqrt{x}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y + {\int }_{4}^{6}\mathrm{\;d}x{\int }_{\frac{x}{3}}^{2}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y$ ；

(3) $\displaystyle{\int }_{-1}^{0}\mathrm{\;d}y{\int }_{-\sqrt{1 - {y}^{2}}}^{\sqrt{1 - {y}^{2}}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ ;

(4) $\displaystyle{\int }_{0}^{\sqrt{2}}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{{y}^{2}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{\sqrt{2}}^{2}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{2}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ .

6.1.13 (1) 当 $k$ 为奇数时,积分值为 0,当 $k$ 为偶数时,积分值为

$$ \frac{1}{{2}^{m - 1}} \cdot \frac{{p}^{m + k + 2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {{2m} + k + 3}\right) }; $$

(2) ${10};\;\left( 3\right) \frac{\pi }{8}$ ; (4) $\frac{3 + {\mathrm{e}}^{2}}{4}$ ;

(5) 18; (6) $4\sin 1 - 4\sin 2 - 2\cos 2 + 2$ .

6.1.14 (1) 1; (2) $\frac{1}{2}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-1}}\right)$ .

6.1.17 (1) $\frac{17}{12} - 2\ln 2;\;\left( 2\right) {2\pi } - \frac{8}{3}$ .

6.1.20 证 $\left| {F\left( {\xi + {\Delta \xi },\eta + {\Delta \eta }}\right) - F\left( {\xi ,\eta }\right) }\right| \leq {2M\pi }\left\lbrack {{h}^{2} - {\left( h - \delta \right) }^{2}}\right\rbrack$ ,其中

$$ M = \mathop{\sup }\limits_{{{x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2}}}\left| {f\left( {x,y}\right) }\right| ,\;\delta = \sqrt{\Delta {\xi }^{2} + \Delta {\eta }^{2}}. $$

6.1.21 (1) $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}z{\int }_{0}^{z}\mathrm{\;d}y{\int }_{z - y}^{1 - y}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}z{\int }_{z}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{1 - y}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ ;

(2) $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}z{\int }_{-z}^{z}\mathrm{\;d}y{\int }_{-\sqrt{{z}^{2} - {y}^{2}}}^{\sqrt{{z}^{2} - {y}^{2}}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ .

6.1.22 (1) $\frac{1}{364};\;\left( 2\right) \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{5}{16}$ ;

(3) $\frac{4\pi }{{a}^{2}}\left( {\frac{\sin {aR}}{a} - R\cos {aR}}\right)$ ; (4) $\frac{430}{21}\pi$ .

💡 答案解析

6. 1.12 (1) $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{{\mathrm{e}}^{y}}^{\mathrm{e}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ ;

(2) $\displaystyle{\int }_{0}^{4}\mathrm{\;d}x{\int }_{\frac{x}{3}}^{\sqrt{x}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y + {\int }_{4}^{6}\mathrm{\;d}x{\int }_{\frac{x}{3}}^{2}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y$ ；

(3) $\displaystyle{\int }_{-1}^{0}\mathrm{\;d}y{\int }_{-\sqrt{1 - {y}^{2}}}^{\sqrt{1 - {y}^{2}}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ ;

(4) $\displaystyle{\int }_{0}^{\sqrt{2}}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{{y}^{2}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{\sqrt{2}}^{2}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{2}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ .

6.1.13 (1) 当 $k$ 为奇数时,积分值为 0,当 $k$ 为偶数时,积分值为

$$ \frac{1}{{2}^{m - 1}} \cdot \frac{{p}^{m + k + 2}}{\left( {k + 1}\right) \left( {{2m} + k + 3}\right) }; $$

(2) ${10};\;\left( 3\right) \frac{\pi }{8}$ ; (4) $\frac{3 + {\mathrm{e}}^{2}}{4}$ ;

(5) 18; (6) $4\sin 1 - 4\sin 2 - 2\cos 2 + 2$ .

6.1.14 (1) 1; (2) $\frac{1}{2}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-1}}\right)$ .

6.1.17 (1) $\frac{17}{12} - 2\ln 2;\;\left( 2\right) {2\pi } - \frac{8}{3}$ .

6.1.20 证 $\left| {F\left( {\xi + {\Delta \xi },\eta + {\Delta \eta }}\right) - F\left( {\xi ,\eta }\right) }\right| \leq {2M\pi }\left\lbrack {{h}^{2} - {\left( h - \delta \right) }^{2}}\right\rbrack$ ,其中

$$ M = \mathop{\sup }\limits_{{{x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2}}}\left| {f\left( {x,y}\right) }\right| ,\;\delta = \sqrt{\Delta {\xi }^{2} + \Delta {\eta }^{2}}. $$

6.1.21 (1) $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}z{\int }_{0}^{z}\mathrm{\;d}y{\int }_{z - y}^{1 - y}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}z{\int }_{z}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{1 - y}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ ;

(2) $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}z{\int }_{-z}^{z}\mathrm{\;d}y{\int }_{-\sqrt{{z}^{2} - {y}^{2}}}^{\sqrt{{z}^{2} - {y}^{2}}}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x$ .

6.1.22 (1) $\frac{1}{364};\;\left( 2\right) \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{5}{16}$ ;

(3) $\frac{4\pi }{{a}^{2}}\left( {\frac{\sin {aR}}{a} - R\cos {aR}}\right)$ ; (4) $\frac{430}{21}\pi$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定积分区域并交换积分次序
对于(1)，积分区域由y从0到1，x从e^y到e确定。画出区域，发现x从1到e，y从0到ln x。因此交换次序后为∫_{x=1}^{e} dx ∫_{y=0}^{ln x} f(x,y) dy。
公式：∫_{0}^{1} dy ∫_{e^y}^{e} f dx = ∫_{1}^{e} dx ∫_{0}^{ln x} f dy
提示：注意边界曲线x=e^y即y=ln x。
步骤 2/4
目标：确定积分区域并交换积分次序
对于(2)，积分区域由两部分组成：第一部分x从0到4，y从x/3到√x；第二部分x从4到6，y从x/3到2。画出区域，发现y从0到2，x从y^2到3y（注意当y≤2时，x上限为3y，但需分段：y∈[0,2]时，x从y^2到3y，但y=2时x上限为6，下限为4，所以实际上y从0到2，x从y^2到3y。因此交换次序后为∫_{y=0}^{2} dy ∫_{x=y^2}^{3y} f(x,y) dx。
公式：∫_{0}^{4} dx ∫_{x/3}^{√x} f dy + ∫_{4}^{6} dx ∫_{x/3}^{2} f dy = ∫_{0}^{2} dy ∫_{y^2}^{3y} f dx
提示：注意曲线y=√x即x=y^2，直线y=x/3即x=3y。
步骤 3/4
目标：确定积分区域并交换积分次序
对于(3)，积分区域由y从-1到0，x从-√(1-y^2)到√(1-y^2)确定。这是左半圆（x从负到正，但y为负，实际是下半圆？注意y从-1到0，x对称，所以区域是下半圆。交换次序：x从-1到1，y从-√(1-x^2)到0。因此∫_{-1}^{0} dy ∫_{-√(1-y^2)}^{√(1-y^2)} f dx = ∫_{x=-1}^{1} dx ∫_{y=-√(1-x^2)}^{0} f dy。
公式：∫_{-1}^{0} dy ∫_{-√(1-y^2)}^{√(1-y^2)} f dx = ∫_{-1}^{1} dx ∫_{-√(1-x^2)}^{0} f dy
提示：注意y的范围对应下半圆。
步骤 4/4
目标：确定积分区域并交换积分次序
对于(4)，积分区域由两部分组成：第一部分y从0到√2，x从0到y^2；第二部分y从√2到2，x从0到2。画出区域，发现x从0到2，y从√x到2（当x∈[0,2]时，y下限为√x，上限为2）。注意当x∈[0,2]时，y从√x到2，但需检查边界：y=√x即x=y^2，y=2即x=4？实际上x最大为2，所以y从√x到2。因此交换次序后为∫_{x=0}^{2} dx ∫_{y=√x}^{2} f dy。
公式：∫_{0}^{√2} dy ∫_{0}^{y^2} f dx + ∫_{√2}^{2} dy ∫_{0}^{2} f dx = ∫_{0}^{2} dx ∫_{√x}^{2} f dy
提示：注意y=√2是分界点，但交换后x从0到2。

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