方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.3题
📝 题目
6.3.5 设 $u\left( {x,y}\right)$ 在 ${\mathbf{R}}^{2}$ 上连续,对任意 $r > 0$ . 证明: 等式
$$ u\left( {x,y}\right) = \frac{1}{\pi {r}^{2}}{\iint }_{{\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( y - \eta \right) }^{2} \leq {r}^{2}}u\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta $$
成立的充要条件是等式
$$ u\left( {x,y}\right) = \frac{1}{2\pi r}{\int }_{{\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( \eta - y\right) }^{2} = {r}^{2}}u\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}s $$
$$ = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {x + r\cos \theta ,y + r\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta \;\left( {\forall r > 0}\right) $$
成立.
💡 答案解析
### 6.3.1 第一型曲线积分
#### (1) 曲线为摆线一拱： $$ x = a(t - \sin t),\quad y = a(1 - \cos t),\quad 0 \le t \le 2\pi $$ 弧长微元： $$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,\mathrm{d}t $$ 计算： $$ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t),\quad \frac{dy}{dt} = a\sin t $$ $$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = a^2[(1-\cos t)^2 + \sin^2 t] = a^2(2 - 2\cos t) = 4a^2\sin^2\frac{t}{2} $$ 因此： $$ \mathrm{d}s = 2a\left|\sin\frac{t}{2}\right|\mathrm{d}t $$ 在 $0 \le t \le 2\pi$ 上 $\displaystyle \sin\frac{t}{2} \ge 0$，所以： $$ \mathrm{d}s = 2a\sin\frac{t}{2}\,\mathrm{d}t $$ 被积函数 $\displaystyle y^2 = a^2(1-\cos t)^2 = a^2(2\sin^2\frac{t}{2})^2 = 4a^2\sin^4\frac{t}{2}$。
积分： $$ \int_L y^2\,\mathrm{d}s = \int_0^{2\pi} 4a^2\sin^4\frac{t}{2} \cdot 2a\sin\frac{t}{2}\,\mathrm{d}t = 8a^3\int_0^{2\pi} \sin^5\frac{t}{2}\,\mathrm{d}t $$ 令 $\displaystyle u = \frac{t}{2}$，则 $\mathrm{d}t = 2\mathrm{d}u$，积分限 $0$ 到 $\pi$： $$ = 16a^3\int_0^\pi \sin^5 u\,\mathrm{d}u $$ 利用递推公式 $\\displaystyle{\int_0^\pi \sin^n u\,\mathrm{d}u = 2\int_0^{\pi/2} \sin^n u\,\mathrm{d}u}$，且 $\\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \sin^5 u\,\mathrm{d}u = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{15}}$，所以： $$ \int_0^\pi \sin^5 u\,\mathrm{d}u = 2\cdot\frac{8}{15} = \frac{16}{15} $$ 因此： $$ \int_L y^2\,\mathrm{d}s = 16a^3\cdot\frac{16}{15} = \frac{256}{15}a^3 $$
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#### (2) 内摆线 $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$，常用参数化： $$ x = a\cos^3 t,\quad y = a\sin^3 t,\quad 0 \le t \le 2\pi $$ 计算： $$ \frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t\cos t $$ $$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 9a^2(\cos^4 t\sin^2 t + \sin^4 t\cos^2 t) = 9a^2\sin^2 t\cos^2 t(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2\sin^2 t\cos^2 t $$ 所以： $$ \mathrm{d}s = 3a|\sin t\cos t|\,\mathrm{d}t $$ 由于对称性，我们可只积分第一象限再乘以4，此时 $\sin t,\cos t \ge 0$，所以 $\mathrm{d}s = 3a\sin t\cos t\,\mathrm{d}t$。
被积函数： $$ x^{4/3} + y^{4/3} = a^{4/3}(\cos^4 t + \sin^4 t) $$ 因此： $$ \int_L (x^{4/3}+y^{4/3})\,\mathrm{d}s = 4\int_0^{\pi/2} a^{4/3}(\cos^4 t + \sin^4 t)\cdot 3a\sin t\cos t\,\mathrm{d}t $$ $$ = 12a^{7/3}\int_0^{\pi/2} (\cos^4 t + \sin^4 t)\sin t\cos t\,\mathrm{d}t $$ 令 $u = \sin^2 t$，则 $\mathrm{d}u = 2\sin t\cos t\,\mathrm{d}t$，$\displaystyle \sin t\cos t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$，且 $\cos^2 t = 1-u$，$\cos^4 t = (1-u)^2$，$\sin^4 t = u^2$。积分限 $t:0\to\pi/2$ 对应 $u:0\to1$： $$ = 12a^{7/3}\int_0^1 [(1-u)^2 + u^2]\cdot\frac12\,\mathrm{d}u = 6a^{7/3}\int_0^1 (1 - 2u + 2u^2)\,\mathrm{d}u $$ $$ = 6a^{7/3}\left[ u - u^2 + \frac{2}{3}u^3 \right]_0^1 = 6a^{7/3}\left(1 - 1 + \frac{2}{3}\right) = 4a^{7/3} $$
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#### (3) 螺线：$x = a\cos t,\; y = a\sin t,\; z = bt$，$0\le t\le 2\pi$，$0 弧长微元： $$ \frac{dx}{dt} = -a\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = a\cos t,\quad \frac{dz}{dt} = b $$ $$ \mathrm{d}s = \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + b^2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{a^2 + b^2}\,\mathrm{d}t $$ 被积函数 $\displaystyle xyz = a\cos t \cdot a\sin t \cdot bt = a^2 b t \sin t \cos t = \frac{a^2 b}{2} t \sin 2t$。 积分： $$ \int_L xyz\,\mathrm{d}s = \frac{a^2 b}{2}\sqrt{a^2+b^2}\int_0^{2\pi} t\sin 2t\,\mathrm{d}t $$ 用分部积分： $$ \int t\sin 2t\,\mathrm{d}t = -\frac{t}{2}\cos 2t + \frac{1}{4}\sin 2t $$ 代入上下限 $0$ 到 $2\pi$： $$ \left[-\frac{t}{2}\cos 2t + \frac14\sin 2t\right]_0^{2\pi} = -\frac{2\pi}{2}\cos 4\pi + 0 - (0 + 0) = -\pi $$ 因此： $$ \int_L xyz\,\mathrm{d}s = \frac{a^2 b}{2}\sqrt{a^2+b^2}\cdot(-\pi) = -\frac{\pi a^2 b}{2}\sqrt{a^2+b^2} $$ --- ### 6.3.2 第一型曲线积分 #### (1) 曲线 $L$：球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，是一个半径为 $a$ 的大圆（因为平面过球心）。 对称性：由于 $x+y+z=0$，有： $$ (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) = 0 $$ 代入 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 得： $$ a^2 + 2(xy+yz+zx) = 0 \quad\Rightarrow\quad xy+yz+zx = -\frac{a^2}{2} $$ 因此被积函数在 $L$ 上为常数 $\displaystyle -\frac{a^2}{2}$。 $L$ 是半径为 $a$ 的圆，周长 $2\pi a$，所以： $$ \int_L (xy+yz+zx)\,\mathrm{d}s = -\frac{a^2}{2}\cdot 2\pi a = -\pi a^3 $$ --- #### (2) 同样曲线，被积函数 $xy$。由对称性，在圆上 $x,y$ 地位对称，且 $x