方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.4题
📝 题目
6.4.5 求曲面 ${x}^{2} + {y}^{2} = \frac{1}{3}{z}^{2},\sqrt{2}x + z = {2a}\left( {a > 0}\right)$ 围成的立体的表面积. 6.4.6 平面上一椭圆绕其长轴旋转得一旋转椭球 $\Omega$ ,求 $\Omega$ 之表面积.
💡 答案解析
6.4.5 ${4\pi }{a}^{2}\left( {3 + 2\sqrt{3}}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定曲面方程和围成立体
曲面由两个方程给出：锥面 x^2 + y^2 = (1/3)z^2 和平面 √2 x + z = 2a (a>0)。它们围成一个立体，需要求该立体的表面积。
提示：注意立体是由锥面和平面截得的封闭曲面，包括锥面部分和平面部分。
步骤 2/5
目标：求交线以确定积分区域
联立方程：x^2 + y^2 = (1/3)z^2 和 √2 x + z = 2a。从平面方程解出 z = 2a - √2 x，代入锥面方程得 x^2 + y^2 = (1/3)(2a - √2 x)^2。化简得 3x^2 + 3y^2 = 4a^2 - 4√2 a x + 2x^2，即 x^2 + 3y^2 + 4√2 a x - 4a^2 = 0。配方得 (x + 2√2 a)^2 + 3y^2 = 12a^2。这是椭圆，中心在 (-2√2 a, 0)，半长轴沿x方向为 2√3 a，半短轴沿y方向为 2a。
公式：x^2 + y^2 = (1/3)z^2; √2 x + z = 2a
提示：交线是椭圆，投影到xOy平面。
步骤 3/5
目标：计算锥面部分的面积
锥面方程 z = √(3(x^2+y^2))（取z≥0部分）。计算面积元素 dS = √(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2) dxdy = √(1 + (3x^2)/(x^2+y^2) + (3y^2)/(x^2+y^2)) dxdy = √(1+3) dxdy = 2 dxdy。锥面面积 S1 = ∬_{D} 2 dxdy，其中D是交线在xOy平面上的投影区域（椭圆内部）。椭圆面积 = π * (2√3 a) * (2a) = 4√3 π a^2，所以 S1 = 2 * 4√3 π a^2 = 8√3 π a^2。
公式：dS = 2 dxdy
提示：注意锥面取z≥0部分，且立体由锥面和平面围成，锥面部分为下方。
步骤 4/5
目标：计算平面部分的面积
平面方程 √2 x + z = 2a，即 z = 2a - √2 x。计算面积元素 dS = √(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2) dxdy = √(1 + (-√2)^2 + 0) dxdy = √3 dxdy。平面部分在xOy上的投影区域与锥面相同（椭圆内部）。所以平面面积 S2 = ∬_{D} √3 dxdy = √3 * 椭圆面积 = √3 * 4√3 π a^2 = 12π a^2。
公式：dS = √3 dxdy
提示：平面部分为上方盖。
步骤 5/5
目标：计算总表面积
总表面积 S = S1 + S2 = 8√3 π a^2 + 12π a^2 = 4π a^2 (2√3 + 3) = 4π a^2 (3 + 2√3)。
提示：注意答案形式为 4π a^2 (3+2√3)。
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