方企勤 第一章 分析基础 第3题
📝 题目
例 3 设 $f\left( x\right) = \sqrt{x}\left( {0 \leq x < 1}\right)$ .
(1)将 $f\left( x\right)$ 延拓到(-1,1),使其成为偶函数,即找一个偶函数
$$ F\left( x\right) \;\left( {\left| x\right| < 1}\right) , $$
使得
$$ F\left( x\right) = f\left( x\right) \;\left( {0 \leq x < 1}\right) . $$
(2)将 $f\left( x\right)$ 延拓到 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,使其成为以 1 为周期的周期函数.
💡 答案解析
解 (1) $F\left( x\right) = \sqrt{\left| x\right| }$ ; (2) $F\left( x\right) = \sqrt{\left| x - \left\lbrack x\right\rbrack \right| }$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将f(x)延拓为(-1,1)上的偶函数
偶函数满足F(-x)=F(x)。已知在[0,1)上F(x)=√x。对于x∈(-1,0)，令F(x)=F(-x)=√(-x)=√|x|。因此F(x)=√|x|，x∈(-1,1)。
公式：F(x)=√|x|
提示：偶函数延拓只需将定义域对称部分用原函数在相反数处的值定义。
步骤 2/2
目标：将f(x)延拓为以1为周期的周期函数
周期函数满足F(x+1)=F(x)。已知在[0,1)上F(x)=√x。对于任意实数x，存在整数k使得x-k∈[0,1)，则F(x)=F(x-k)=√(x-k)。由于x-k=x-[x]，其中[x]为取整函数，且x-[x]∈[0,1)，故F(x)=√(x-[x])。但需注意定义域为全体实数，且当x为整数时，x-[x]=0，F(x)=0。
公式：F(x)=√(x-[x])
提示：周期延拓时，将自变量减去整数部分使其落入基本周期区间。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。