方企勤 第一章 分析基础 第1题
📝 题目
例 1 求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n} = 1}$ .
💡 答案解析
证 因为
$$ 1 \leq \sqrt[n]{n} = {\left( \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot \overset{n - 2}{\overbrace{1 \cdot \cdots \cdot 1}}\right) }^{\frac{1}{n}} $$
$$ \leq \frac{\sqrt[n]{n} + \sqrt{n + 1 + \cdots + 1}}{n} $$
$$ = \frac{2\sqrt{n} + n - 2}{n} < 1 + \frac{2}{\sqrt{n}}, $$
所以
$$ \left| {\sqrt[n]{n} - 1}\right| < \frac{2}{\sqrt{n}} $$
于是,对任给定 $\varepsilon > 0$ ,取 $N = \left\lbrack \frac{4}{{\varepsilon }^{2}}\right\rbrack + 1$ ,当 $n > N$ 时便有
$$ \left| {\sqrt[n]{n} - 1}\right| < \frac{2}{\sqrt{n}} < \frac{2}{\sqrt{N}} < \varepsilon . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立不等式链，将√[n]{n}夹逼在1和1+2/√n之间
首先，显然有√[n]{n} ≥ 1。为了得到上界，将n写成√n·√n·1·...·1（共n-2个1），利用均值不等式：√[n]{n} = (√n·√n·1·...·1)^{1/n} ≤ (2√n + n - 2)/n = 1 + 2/√n。因此有1 ≤ √[n]{n} < 1 + 2/√n。
公式：1 ≤ √[n]{n} < 1 + 2/√n
提示：注意均值不等式的应用：对于非负数，几何平均不超过算术平均。
步骤 2/3
目标：转化为绝对值不等式
由1 ≤ √[n]{n} < 1 + 2/√n，可得0 ≤ √[n]{n} - 1 < 2/√n，即|√[n]{n} - 1| < 2/√n。
公式：|√[n]{n} - 1| < 2/√n
提示：绝对值不等式直接由夹逼得到。
步骤 3/3
目标：根据ε-N定义选取N
对任意给定的ε > 0，要使|√[n]{n} - 1| < ε，只需2/√n < ε，即n > 4/ε²。取N = [4/ε²] + 1，则当n > N时，有2/√n < 2/√N < ε，从而|√[n]{n} - 1| < ε。
公式：N = ⌊4/ε²⌋ + 1
提示：注意取整函数的使用，确保N是整数且满足条件。
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