方企勤 第一章 分析基础 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 求 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }}$ .

💡 答案解析

解 因为

$$ \frac{1}{2n} \leq \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \cdots \cdot \frac{{2n} - 1}{{2n} - 2} \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) } \leq 1, $$

所以

$$ \frac{1}{\sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n}} \leq \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }} \leq 1 $$

$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }} = 1\text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：建立不等式估计
注意到乘积中除了最后一项1/(2n)外，其余各项均大于1，因此乘积介于1/(2n)和1之间。具体地，将乘积写为(3/2)*(5/4)*...*((2n-1)/(2n-2))*(1/(2n))，由于每个因子(2k-1)/(2k-2) > 1，所以乘积 ≥ 1/(2n)；同时每个因子(2k-1)/(2k) < 1，所以乘积 ≤ 1。
公式：\frac{1}{2n} \leq \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)} \leq 1
提示：将乘积拆分为两部分，一部分大于1，一部分小于1，从而得到上下界。
步骤 2/3
目标：对不等式开n次方
对不等式各项开n次方，得到：\frac{1}{\sqrt[n]{2n}} \leq \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}} \leq 1。注意\sqrt[n]{2n} = \sqrt[n]{2} \cdot \sqrt[n]{n}。
公式：\frac{1}{\sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n}} \leq \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}} \leq 1
提示：开n次方时，注意分母的分解。
步骤 3/3
目标：取极限并应用夹逼定理
由于\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1，\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1，所以\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n}} = 1。由夹逼定理，原极限等于1。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}} = 1
提示：夹逼定理：若a_n ≤ b_n ≤ c_n且lim a_n = lim c_n = L，则lim b_n = L。

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