方企勤 第一章 分析基础 第19题

教材习题

📝 题目

例 19 求证: 序列 ${x}_{n} = \frac{\cos 1}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{\cos n}{n\left( {n + 1}\right) }$ 收敛.

💡 答案解析

证 对 $\forall n,p \in N$ ,有

$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| < \frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) } + \frac{1}{\left( {n + 2}\right) \left( {n + 3}\right) } $$

$$ + \cdots + \frac{1}{\left( {n + p}\right) \left( {n + p + 1}\right) } $$

$$ = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + p + 1} < \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n}. $$

由此可见,对 $\forall \varepsilon > 0,\exists N = \left\lbrack \frac{1}{\varepsilon }\right\rbrack$ ,使得当 $n > N$ 时,有 $\left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| <$ $\varepsilon \left( {\forall p \in N}\right)$ . 由收敛原理知 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 收敛.

评注 从本例可以看出收敛原理的优点之一: 它从序列本身的结构来判断收敛性, 因此不需要事先知道极限值.

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：估计差值的绝对值上界
对任意自然数 n 和 p，考虑 x_{n+p} - x_n 的绝对值。由于每一项的分子余弦绝对值不超过1，分母为正，因此每一项的绝对值不超过 1/(k(k+1))。于是有 |x_{n+p} - x_n| ≤ 1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+2)(n+3)) + ... + 1/((n+p)(n+p+1))。
公式：|x_{n+p} - x_n| < ∑_{k=n+1}^{n+p} 1/(k(k+1))
提示：利用三角不等式和|cos k| ≤ 1。
步骤 2/3
目标：裂项求和简化上界
对右端求和式进行裂项：1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)。代入得 ∑_{k=n+1}^{n+p} (1/k - 1/(k+1)) = 1/(n+1) - 1/(n+p+1)。因此 |x_{n+p} - x_n| < 1/(n+1) - 1/(n+p+1) < 1/(n+1) < 1/n。
公式：∑_{k=n+1}^{n+p} 1/(k(k+1)) = 1/(n+1) - 1/(n+p+1)
提示：裂项相消是处理此类求和的常用技巧。
步骤 3/3
目标：应用Cauchy收敛准则
由上述不等式，对任意 ε>0，取 N = [1/ε]（取整），则当 n > N 时，有 1/n < ε，从而对任意 p∈N，|x_{n+p} - x_n| < ε。根据Cauchy收敛准则，序列 {x_n} 收敛。
公式：∀ε>0, ∃N=[1/ε], 当 n>N 时, ∀p∈N, |x_{n+p}-x_n|<ε
提示：Cauchy收敛准则：序列收敛当且仅当它是基本列。

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