方企勤 第一章 分析基础 第20题
📝 题目
例 20 求证: 序列 ${x}_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散.
💡 答案解析
证 对 ${\varepsilon }_{0} = 1,\forall N \in \mathbf{N}$ ,只要 $\displaystyle{n > \max \{ N,2\}}$ 及 $p = n$ ,便有
$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| = \left| {{x}_{2n} - {x}_{n}}\right| = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n + 2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}} $$
$$ \geq \frac{n}{\sqrt{2n}} = \sqrt{\frac{n}{2}} > 1 = {\varepsilon }_{0}. $$
提问 本题如下推导得出相反的结论, 试问错在什么地方? $\forall \varepsilon > 0$ ,因为 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0}$ ,所以 $\exists N$ ,当 $n > N$ 时,有 $\frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{\varepsilon }{p}$ . 因此
$$ \frac{1}{\sqrt{n + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n + 2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n + p}} < \frac{\varepsilon }{p} + \frac{\varepsilon }{p} + \cdots + \frac{\varepsilon }{p} = \varepsilon . $$
由收敛原理知 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 收敛.
解答 错误在于 $N$ 依赖于 $p$ .
评注 从本例可以看出收敛原理的又一个优点: 收敛原理它不仅是收敛的充分条件, 还是必要条件. 因此, 在判断发散性时, 常有特殊的效用.
\subsubsection{六、关于子序列}