方企勤 第一章 分析基础 第22题

教材习题

📝 题目

例 22 设 ${a}_{1} > 0,{a}_{n + 1} = {a}_{n} + \frac{1}{{a}_{n}}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{\sqrt{2n}} = 1}$ .

💡 答案解析

证 首先可看出 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是严格单调增加的,又不可能有上界,否则存在有限数 $a$ ,使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a}$ ,因此

$$ {a}_{n + 1} = {a}_{n} + \frac{1}{{a}_{n}} \Rightarrow a = a + \frac{1}{a} \Rightarrow a = \infty . $$

这与 $a$ 为有限数矛盾. 于是,从 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是严格单调增加的,又无上界,即知 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = + \infty}$ . 令 ${b}_{n}\overset{\text{ 定义 }}{ = }{a}_{n}^{2}$ ,再注意到

$$ {b}_{n + 1} - {b}_{n} = {a}_{n + 1}^{2} - {a}_{n}^{2} = \left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) \left( {{a}_{n + 1} + {a}_{n}}\right) $$

$$ = \frac{1}{{a}_{n}}\left( {{a}_{n + 1} + {a}_{n}}\right) = 2 + \frac{1}{{a}_{n}^{2}} \rightarrow 2\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) , $$

对序列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 用

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明数列 {a_n} 严格单调增加且无上界
由于 a1 > 0，且 a_{n+1} = a_n + 1/a_n，显然 a_{n+1} > a_n，故严格单调增加。假设有上界，则存在有限极限 a，由递推式得 a = a + 1/a，推出矛盾，故无上界，从而 a_n → +∞。
公式：a_{n+1} = a_n + 1/a_n
提示：利用反证法证明无上界。
步骤 2/3
目标：构造 b_n = a_n^2 并计算差分
令 b_n = a_n^2，则 b_{n+1} - b_n = a_{n+1}^2 - a_n^2 = (a_{n+1} - a_n)(a_{n+1} + a_n) = (1/a_n)(a_{n+1} + a_n) = 2 + 1/a_n^2。
公式：b_{n+1} - b_n = 2 + 1/a_n^2
提示：注意利用 a_{n+1} - a_n = 1/a_n。
步骤 3/3
目标：应用Stolz定理求极限
由于 a_n → +∞，b_n → +∞，由Stolz定理：lim_{n→∞} b_n / n = lim_{n→∞} (b_{n+1} - b_n) / 1 = lim_{n→∞} (2 + 1/a_n^2) = 2。因此 lim_{n→∞} a_n^2 / n = 2，即 lim_{n→∞} a_n / √(2n) = 1。
公式：Stolz定理：lim (b_n/n) = lim (b_{n+1}-b_n)
提示：Stolz定理适用于∞/∞型极限。

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