方企勤 第一章 分析基础 第27题
📝 题目
例 27 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上连续,且满足条件
$$ f\left( {x}^{2}\right) = f\left( x\right) \;\left( {\forall x > 0}\right) . $$
求证: $f\left( x\right)$ 为一常数.
💡 答案解析
证 由条件得
$$ f\left( x\right) = f\left( {x}^{1/2}\right) = f\left( {x}^{1/{2}^{2}}\right) = \cdots = f\left( {x}^{1/{2}^{n}}\right) = \cdots $$
$$ \Rightarrow f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}^{\frac{1}{{2}^{n}}}\right) = f\left( {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}^{\frac{1}{{2}^{n}}}}\right) = f\left( 1\right) , $$
即
$$ f\left( x\right) \equiv f\left( 1\right) \text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用条件反复迭代得到递推关系
由条件 f(x^2)=f(x) 对所有 x>0 成立，反复应用可得 f(x)=f(x^{1/2})=f(x^{1/2^2})=...=f(x^{1/2^n})。
公式：f(x) = f(x^{1/2^n})
提示：注意每次将自变量开平方，保持函数值不变。
步骤 2/2
目标：取极限并利用连续性
令 n→∞，则 x^{1/2^n}→1。由于 f 在 (0,+∞) 上连续，极限号可与函数交换，得到 f(x)=lim_{n→∞} f(x^{1/2^n}) = f(lim_{n→∞} x^{1/2^n}) = f(1)。
公式：f(x) = f(1)
提示：连续性保证极限与函数次序可交换。
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