方企勤 第二章 一元函数微分学 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,{f}^{\prime }\left( a\right)$ 存在,并设 $\eta$ 满足

$$ {f}^{\prime }\left( a\right) > \eta > \frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{b - a}. $$

求证: $\exists \xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $\frac{f\left( \xi \right) - f\left( a\right) }{\xi - a} = \eta$ .

💡 答案解析

证 考虑函数 $g\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a}, & a < x \leq b, \\ {f}^{\prime }\left( a\right) , & x = a. \end{array}\right.$

容易验证 $g\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,且 $g\left( a\right) > \eta > g\left( b\right)$ . 由连续函数的介值定理, $\exists \xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $g\left( \xi \right) = \eta$ ,即 $\frac{f\left( \xi \right) - f\left( a\right) }{\xi - a} = \eta$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：构造辅助函数
定义函数 g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) 当 x∈(a,b]，并补充定义 g(a)=f'(a)，使得 g(x) 在 [a,b] 上连续。
公式：g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}, & a < x \leq b \\ f'(a), & x = a \end{cases}
提示：注意补充定义以保证连续性，这是应用介值定理的关键。
步骤 2/5
目标：验证连续性
由于 f∈C[a,b] 且 f'(a) 存在，可证 g(x) 在 x=a 处连续，从而 g∈C[a,b]。
公式：\lim_{x \to a^+} g(x) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) = g(a)
提示：利用导数定义验证左连续（实际是右连续，但区间端点只需单侧）。
步骤 3/5
目标：比较函数值
由条件 f'(a) > η > (f(b)-f(a))/(b-a)，得 g(a) > η > g(b)。
公式：g(a)=f'(a) > η > \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=g(b)
提示：注意 g(b) 的定义就是差商。
步骤 4/5
目标：应用介值定理
因为 g∈C[a,b] 且 g(a) > η > g(b)，由连续函数的介值定理，存在 ξ∈(a,b) 使得 g(ξ)=η。
公式：∃ ξ∈(a,b), g(ξ)=η
提示：介值定理要求函数值在两端点之间，这里 η 介于 g(a) 和 g(b) 之间。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 g(ξ)=η 即得 (f(ξ)-f(a))/(ξ-a)=η。
公式：\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a} = \eta
提示：注意 ξ 在开区间 (a,b) 内，故分母不为零。

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