方企勤 第二章 一元函数微分学 第8题

教材习题

📝 题目

例 8 设 $f\left( x\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可微,且 $f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 没有公共零点. 求证: 集合 $\{ x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \mid f\left( x\right) = 0\}$ 是有穷集.

💡 答案解析

证 用反证法. 假设 $\exists {x}_{n} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,使得 $f\left( {x}_{n}\right) = 0\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 那么根据波尔察诺定理, $\displaystyle{\exists {\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\} }_{k = 1}^{\infty }}$ 和 ${x}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = {x}_{0}}$ . 于是有

$$ f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}0 = 0, $$

$$ {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\frac{f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{{x}_{{n}_{k}} - {x}_{0}} = 0. $$

这意味着 ${x}_{0}$ 是 $f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 的公共零点. 这与 $f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 没有公共零点矛盾. 这矛盾说明反证法假设不成立,故 $\{ x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \mid f\left( x\right) = 0\}$ 是有穷集.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：假设结论不成立，即集合是无穷集
用反证法，假设集合 {x∈[0,1] | f(x)=0} 是无穷集，则存在无穷多个零点，从而存在一列互异的零点 {x_n} ⊆ [0,1] 满足 f(x_n)=0。
提示：注意零点互异，否则可能无法构造收敛子列。
步骤 2/5
目标：利用波尔察诺定理得到收敛子列
由于 {x_n} 是有界数列，根据波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理，存在收敛子列 {x_{n_k}} 收敛到 x_0 ∈ [0,1]。
公式：波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理：有界数列必有收敛子列。
提示：确保子列收敛到闭区间内的点。
步骤 3/5
目标：证明 x_0 是 f 的零点
由 f 的可微性（从而连续），有 f(x_0) = lim_{k→∞} f(x_{n_k}) = lim_{k→∞} 0 = 0。
公式：f(x_0) = lim_{k→∞} f(x_{n_k})
提示：利用连续性取极限。
步骤 4/5
目标：证明 x_0 也是 f' 的零点
由于 f(x_{n_k}) = 0 且 f(x_0)=0，考虑导数定义：f'(x_0) = lim_{k→∞} [f(x_{n_k}) - f(x_0)]/(x_{n_k} - x_0) = lim_{k→∞} 0/(x_{n_k} - x_0) = 0。
公式：f'(x_0) = lim_{k→∞} (f(x_{n_k}) - f(x_0))/(x_{n_k} - x_0)
提示：注意 x_{n_k} ≠ x_0，否则需考虑子列中是否有等于 x_0 的点，但可剔除。
步骤 5/5
目标：导出矛盾
得到 x_0 是 f 和 f' 的公共零点，与已知条件“f 和 f' 没有公共零点”矛盾。因此假设不成立，原集合为有穷集。
提示：矛盾点在于公共零点的存在。

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