方企勤 第二章 一元函数微分学 第2题
📝 题目
例 2 设函数 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,在(a, b)内可导,且
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) \neq 0\;\left( {\forall x \in \left( {a,b}\right) }\right) . $$
求证: 如果 $\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }$ 严格单调增加,则对 $\forall x \in \left( {a,b}\right)$ ,
$$ \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{g\left( x\right) - g\left( a\right) }\text{ 和 }\;\frac{f\left( x\right) - f\left( b\right) }{g\left( x\right) - g\left( b\right) } $$
都严格单调增加.
💡 答案解析
证 不妨设 ${g}^{\prime }\left( x\right) > 0$ (否则用 $- f\left( x\right) , - g\left( x\right)$ 分别代替 $f\left( x\right)$ , $g\left( x\right) )$ ,根据柯西中值定理,存在 $\xi \in \left( {a,x}\right)$ ,使得
$$ \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{g\left( x\right) - g\left( a\right) } = \frac{{f}^{\prime }\left( \xi \right) }{{g}^{\prime }\left( \xi \right) }. \tag{3.3} $$
又因为 $\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }$ 严格单调增加,所以 $\frac{{f}^{\prime }\left( \xi \right) }{{g}^{\prime }\left( \xi \right) } < \frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\left( {\xi \in \left( {a,x}\right) }\right)$ . 从而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) > {g}^{\prime }\left( x\right) \cdot \frac{{f}^{\prime }\left( \xi \right) }{{g}^{\prime }\left( \xi \right) }\overset{\because \left( {3.3}\right) \text{ 式 }}{ = }{g}^{\prime }\left( x\right) \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{g\left( x\right) - g\left( a\right) } $$
$$ \Rightarrow {\left\lbrack \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{g\left( x\right) - g\left( a\right) }\right\rbrack }^{\prime } = \frac{\left| \begin{array}{ll} g\left( x\right) - g\left( a\right) & f\left( x\right) - f\left( a\right) \\ {g}^{\prime }\left( x\right) & {f}^{\prime }\left( x\right) \end{array}\right| }{{\left( g\left( x\right) - g\left( a\right) \right) }^{2}} > 0 $$
$$ \left( {\forall x \in \left( {a,b}\right) }\right) \text{ . } $$
从而 $\frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{g\left( x\right) - g\left( a\right) }$ 严格单调增加. 同理可证 $\frac{f\left( x\right) - f\left( b\right) }{g\left( x\right) - g\left( b\right) }$ 单调增加.