方企勤 第二章 一元函数微分学 第3题
📝 题目
例 3 设 $f\left( 0\right) = 0$ ,且 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上严格单调增加. 求证:
( 1 )在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上函数 $g\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }f\left( x\right) }{x}$ 严格单调增加；
(2)对于任意正数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\left( {n > 1}\right)$ ,有
$$ f\left( {a}_{1}\right) + f\left( {a}_{2}\right) + \cdots + f\left( {a}_{n}\right) < f\left( {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}\right) . $$
💡 答案解析
证(1)对 $g\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }}{}x$ ,应用
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上严格单调增加
对g(x)求导得g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2。由于f(0)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,x)使得f(x)=f'(ξ)x。代入得g'(x)=(xf'(x)-f'(ξ)x)/x^2=(f'(x)-f'(ξ))/x。因为f'(x)严格单调增加，且ξf'(ξ)，故g'(x)>0，因此g(x)严格单调增加。
公式：g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}
提示：利用拉格朗日中值定理将f(x)转化为f'(ξ)x，从而比较f'(x)与f'(ξ)的大小。
步骤 2/2
目标：证明不等式f(a1)+...+f(an) < f(a1+...+an)
由(1)知g(x)=f(x)/x严格单调增加，故对于任意正数ai，有f(ai)/ai < f(S)/S，其中S=a1+...+an。两边乘以ai得f(ai) < (ai/S)f(S)。对i=1到n求和得∑f(ai) < (∑ai/S)f(S)=f(S)。
公式：\frac{f(a_i)}{a_i} < \frac{f(S)}{S} \Rightarrow f(a_i) < \frac{a_i}{S}f(S)
提示：利用g(x)的单调性，将每个f(ai)与f(S)联系起来，然后求和。
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