方企勤 第二章 一元函数微分学 第7题
📝 题目
例 7 求证: (1) $\forall n \in N,\exists {\theta }_{n} \in \left( {0,1}\right)$ ,使得
$$ \mathrm{e} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \frac{{\mathrm{e}}^{{\theta }_{n}}}{\left( {n + 1}\right) !}; \tag{5.2} $$
(2) $\mathrm{e}$ 是无理数.
💡 答案解析
证 (1) 对函数 ${\mathrm{e}}^{x}$ 在点 $x = 0$ 处展成带有拉格朗日余项的泰勒公式, 得到
$$ {\mathrm{e}}^{x} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{{x}^{k}}{k!} + \frac{{\mathrm{e}}^{{\theta }_{n}x}}{\left( {n + 1}\right) !}{x}^{n + 1} $$
其中 ${\theta }_{n} \in \left( {0,1}\right)$ . 代入 $x = 1$ 即得 (5.2) 式.
(2)用反证法. 假设 $\mathrm{e}$ 为有理数,设 $\mathrm{e} = \frac{p}{q}\left( {p,q \in N}\right)$ . 取 $n =$ $\displaystyle{\max \{ q,2\}}$ ,在等式 (5.2) 的两端同乘以 $n!$ ,并移项得到
$$ \frac{p}{q} \cdot n! - \left( {1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}}\right) \cdot n! = \frac{{\mathrm{e}}^{{\theta }_{n}}}{n + 1}. \tag{5.3} $$
注意到,等式 (5.3) 左端是正整数,从而右端也是正整数,这要求
$$ n + 1 \leq {\mathrm{e}}^{{\theta }_{n}} < 3 \Rightarrow n = 1, $$
这与 $\displaystyle{n = \max \{ q,2\} > 1}$ 矛盾. 这个矛盾说明假设 $\mathrm{e}$ 为有理数不成立, 即证得 $\mathrm{e}$ 是无理数.