方企勤 第二章 一元函数微分学 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 求证: (1) 当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时,有

$$ \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) < \frac{x + \alpha }{{x}^{2} + x}\;\left( {\forall x > 0}\right) ; \tag{6.3} $$

(2)当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时,函数 $f\left( x\right) = {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + \alpha }$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上严格单调递减；

(3)若数集 $A\overset{\text{ 定义 }}{ = }\left\{ {\alpha \left| {\;{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + a} > \mathrm{e}\left( {\forall x > 0}\right) }\right. }\right\}$ ,则

$$ A = \left\lbrack {\frac{1}{2}, + \infty }\right) . $$

💡 答案解析

证 (1) 令 $g\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{x + \alpha }{{x}^{2} + x}$ . 为了证明 (6.3) 式,只需证明 $g\left( x\right) < 0$ . 事实上,当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时,

$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = \frac{\alpha + \left( {{2\alpha } - 1}\right) x}{{x}^{2}{\left( x + 1\right) }^{2}} > 0 \Rightarrow g\left( x\right) \uparrow , $$

又 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = 0$ ,故 $g\left( x\right) < 0$ .

(2)为证明 $f\left( x\right)$ 严格单调递减,只需证明 ${f}^{\prime }\left( x\right) < 0$ . 用对数求导法, 有

$$ \ln f\left( x\right) = \left( {x + \alpha }\right) \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) \Rightarrow {f}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) $$

$$ \text{ 由第 (1) 小题 }\;{f}^{\prime }\left( x\right) < 0\text{ . } $$

(3) 一方面,因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + a} = \mathrm{e}$ ,又根据第 (2) 小题结论, 当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时, ${\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + \alpha }$ 严格单调递减,所以

$$ \alpha \in \left\lbrack {\frac{1}{2}, + \infty }\right) \Rightarrow {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + \alpha } > \mathrm{e}\left( {\forall x > 0}\right) \Rightarrow \alpha \in A. $$

另一方面,对 $\forall \alpha \in A$ ,有

$$ {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + a} > \mathrm{e}\;\left( {\forall x > 0}\right) $$

$$ \Rightarrow {\ln }^{2}\left( {1 + \frac{1}{x}}\right) > \frac{1}{{\left( x + \alpha \right) }^{2}}\;\left( {\forall x > 0}\right) . \tag{6.4} $$

再用

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明不等式 (6.3)
令 g(x) = ln(1+1/x) - (x+α)/(x^2+x)。要证 g(x) < 0。当 α ≥ 1/2 时，求导得 g'(x) = (α + (2α-1)x) / [x^2 (x+1)^2] > 0，故 g(x) 严格递增。又 lim_{x→+∞} g(x) = 0，所以 g(x) < 0。
公式：g'(x) = \frac{\alpha + (2\alpha-1)x}{x^2 (x+1)^2} > 0
提示：注意极限 lim_{x→+∞} ln(1+1/x) = 0，且 (x+α)/(x^2+x) → 0。
步骤 2/3
目标：证明 f(x) 严格单调递减
f(x) = (1+1/x)^{x+α}。取对数得 ln f(x) = (x+α) ln(1+1/x)，求导得 f'(x) = f(x) * g(x)。由第(1)小题知 g(x) < 0，且 f(x) > 0，故 f'(x) < 0，所以 f(x) 严格单调递减。
公式：f'(x) = f(x) \cdot g(x)
提示：对数求导法：先取对数再求导。
步骤 3/3
目标：确定集合 A
一方面，当 α ≥ 1/2 时，由第(2)小题知 f(x) 严格递减，且 lim_{x→+∞} f(x) = e，故 f(x) > e 对所有 x>0 成立，所以 α ∈ A。另一方面，若 α ∈ A，则 f(x) > e 对所有 x>0 成立，取对数得 (x+α) ln(1+1/x) > 1，即 ln(1+1/x) > 1/(x+α)。令 x→0+，利用 ln(1+1/x) ~ 1/x，可得 α ≥ 1/2。因此 A = [1/2, +∞)。
公式：\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha} = e
提示：利用极限和单调性证明包含关系，再通过反证法或极限证明 α 的下界。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第1题 返回列表 第3题 →