方企勤 第二章 一元函数微分学 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 求证:

(1) $\ln \frac{b}{a} > \frac{2\left( {b - a}\right) }{b + a}\left( {b > a > 0}\right)$ ;

(2) $\left( {{x}^{2} - 1}\right) \ln x \geq 2{\left( x - 1\right) }^{2}\;\left( {\forall x > 0}\right)$ .

思路 (1) 注意到原不等式中的两个参数具有齐次关系, 若令 $x = \frac{b}{a}$ ,就把两个参数转化为一个参数作为变量. 那么本题就是要证明:

$$ \ln x > \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1}\;\left( {\forall x > 1}\right) . \tag{6.6} $$

(2)考虑

$$ \left( {{x}^{2} - 1}\right) \ln x \geq 2{\left( x - 1\right) }^{2}\;\left( {\forall x > 0}\right) $$

$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \left( {x + 1}\right) \ln x > 2\left( {x - 1}\right) , & \forall x > 1, \\ \left( {x + 1}\right) \ln x \leq 2\left( {x - 1}\right) , & \forall 0 < x \leq 1. \end{array}\right. \tag{6.7} $$

💡 答案解析

证(1)作辅助函数 $f\left( x\right) = \ln x - \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1}$ ,则有

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{\left( 1 + x\right) }^{2}} = \frac{{\left( 1 - x\right) }^{2}}{x{\left( 1 + x\right) }^{2}} > 0\;\left( {\forall x > 1}\right) . $$

因此当 $x > 1$ 时, $f\left( x\right)$ 严格单调增加,从而 $f\left( x\right) > f\left( 1\right) = 0\left( {\forall x > 1}\right)$ , 即得 (6.6)式.

(2)注意到(6.7)式中的第一个不等式就是(6.6)式；而(6.7)式中的第二个不等式,当 $x = 1$ 时,显然等号成立; 当 $0 < x < 1$ 时,令 $t = \frac{1}{x}$ ,则 $t > 1$ . 对 $t$ 用不等式 (6.6),则有

$$ - \ln x = \ln t > \frac{2\left( {t - 1}\right) }{t + 1} = \frac{2\left( {\frac{1}{x} - 1}\right) }{\frac{1}{x} + 1} = \frac{2\left( {1 - x}\right) }{x + 1} $$

$$ \Rightarrow \left( {x + 1}\right) \ln x < 2\left( {x - 1}\right) \;\left( {\forall 0 < x < 1}\right) . $$

即 (6.7) 式中的第二个不等式当 $0 < x < 1$ 时成立.

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：将双参数不等式转化为单参数不等式
令 x = b/a，由于 b > a > 0，则 x > 1。原不等式 ln(b/a) > 2(b-a)/(b+a) 化为 ln x > 2(x-1)/(x+1)。
公式：x = b/a, x > 1
提示：齐次关系提示变量替换
步骤 2/7
目标：构造辅助函数并求导
设 f(x) = ln x - 2(x-1)/(x+1)，求导得 f'(x) = 1/x - 4/(1+x)^2 = (1-x)^2 / [x(1+x)^2] > 0 (x>1)。
公式：f'(x) = (1-x)^2 / [x(1+x)^2]
提示：导数恒正说明函数严格递增
步骤 3/7
目标：利用单调性证明不等式
由 f'(x)>0 知 f(x) 在 (1,+∞) 严格递增，又 f(1)=0，故 x>1 时 f(x)>0，即 ln x > 2(x-1)/(x+1)。
公式：f(x) > f(1) = 0
提示：注意 f(1)=0 是关键点
步骤 4/7
目标：转化第二问的不等式形式
原不等式 (x^2-1)ln x ≥ 2(x-1)^2 等价于：当 x>1 时 (x+1)ln x > 2(x-1)；当 0
公式：(x+1)ln x ≥ 2(x-1) 分情况
提示：注意 x=1 时等号成立
步骤 5/7
目标：证明 x>1 时的不等式
x>1 时，(x+1)ln x > 2(x-1) 即 ln x > 2(x-1)/(x+1)，这正是第一问已证结论。
公式：ln x > 2(x-1)/(x+1)
提示：直接引用第一问结果
步骤 6/7
目标：证明 0
令 t=1/x >1，代入第一问不等式：ln t > 2(t-1)/(t+1)。由于 ln t = -ln x，且 2(t-1)/(t+1)=2(1-x)/(1+x)，得 -ln x > 2(1-x)/(1+x)，即 (x+1)ln x < 2(x-1)。
公式：t=1/x, ln t > 2(t-1)/(t+1)
提示：变量代换将区间转换到 x>1
步骤 7/7
目标：综合结论
综上，对任意 x>0，原不等式成立。
提示：注意 x=1 时等号成立

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