方企勤 第二章 一元函数微分学 第9题

教材习题

📝 题目

例 9 设 $p,q > 0$ ,且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ,又设 $a > 0,b > 0$ ,求证:

$$ {ab} \leq \frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}. $$

思路 只要证原不等式两边取对数得到的不等式, 即

$$ \ln \left( {ab}\right) \leq \ln \left( {\frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}}\right) . \tag{6.14} $$

💡 答案解析

证 考虑函数 $f\left( x\right) = \ln x$ ,因为 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right) = - \frac{1}{{x}^{2}}\left( {\forall x > 0}\right)$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是凸函数,由凸函数定义,

$$ f\left( {\frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}}\right) \geq \frac{1}{p}f\left( {a}^{p}\right) + \frac{1}{q}f\left( {b}^{q}\right) $$

$$ = \frac{1}{p}\ln {a}^{p} + \frac{1}{q}\ln {b}^{q} = \ln \left( {ab}\right) . \tag{6.15} $$

因为 $f\left( x\right) = \ln x$ ,所以 (6.15) 式就是要证的 (6.14) 式.

📋 详细解题步骤

步骤 1/1
目标：构造凸函数并利用凸性证明不等式
考虑函数 f(x)=ln x，由于 f''(x)=-1/x^2 < 0 (x>0)，故 f(x) 在 (0,+∞) 上是凸函数。根据凸函数的定义，对于任意正数 u, v 和满足 1/p+1/q=1 的正数 p, q，有 f(u/p + v/q) ≥ (1/p)f(u) + (1/q)f(v)。取 u=a^p, v=b^q，则 f(a^p/p + b^q/q) ≥ (1/p)ln(a^p) + (1/q)ln(b^q) = ln a + ln b = ln(ab)。由于 f(x)=ln x 是单调递增函数，因此 ab ≤ a^p/p + b^q/q。
公式：f(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q) \geq \frac{1}{p}f(a^p) + \frac{1}{q}f(b^q)
提示：注意凸函数的定义：f(λx+(1-λ)y) ≥ λf(x)+(1-λ)f(y)，这里 λ=1/p, 1-λ=1/q。

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